論文の概要: Quantum Walks on Simplicial Complexes and Harmonic Homology: Application to Topological Data Analysis with Superpolynomial Speedups
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.15407v1
- Date: Tue, 23 Apr 2024 18:00:17 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-25 15:32:53.996001
- Title: Quantum Walks on Simplicial Complexes and Harmonic Homology: Application to Topological Data Analysis with Superpolynomial Speedups
- Title（参考訳）: 単純コンプレックスの量子ウォークと調和ホモロジー:スーパーポリノミカルスピードアップを用いたトポロジカルデータ解析への応用
- Authors: Ryu Hayakawa, Kuo-Chin Chen, Min-Hsiu Hsieh,
- Abstract要約: ラプラシアン(Laplacian)は、スペクトル特性が基礎となる単体錯体を反映する重要な数学的対象である。
以上の結果から,大規模データセットの量子オラクルを必要とせずに,量子ウォークによる超ポリノミカル量子スピードアップを実現した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.538251541300028
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Incorporating higher-order interactions in information processing enables us to build more accurate models, gain deeper insights into complex systems, and address real-world challenges more effectively. However, existing methods, such as random walks on oriented simplices and homology, which capture these interactions, are not known to be efficient. This work investigates whether quantum walks on simplicial complexes exhibit quantum advantages. We introduce a novel quantum walk that encodes the combinatorial Laplacian, a key mathematical object whose spectral properties reflect the topology of the underlying simplicial complex. Furthermore, we construct a unitary encoding that projects onto the kernel of the Laplacian, representing the space of harmonic cycles in the complex's homology. Combined with the efficient construction of quantum walk unitaries for clique complexes that we present, this paves the way for utilizing quantum walks to explore higher-order interactions within topological structures. Our results achieve superpolynomial quantum speedup with quantum walks without relying on quantum oracles for large datasets. Crucially, the walk operates on a state space encompassing both positively and negatively oriented simplices, effectively doubling its size compared to unoriented approaches. Through coherent interference of these paired simplices, we are able to successfully encode the combinatorial Laplacian, which would otherwise be impossible. This observation constitutes our major technical contribution. We also extend the framework by constructing variant quantum walks. These variants enable us to: (1) estimate the normalized persistent Betti numbers, capturing topological information throughout a deformation process, and (2) verify a specific QMA$_1$-hard problem, showcasing potential applications in computational complexity theory.
- Abstract（参考訳）: 情報処理に高次のインタラクションを組み込むことで、より正確なモデルの構築、複雑なシステムに対する深い洞察の獲得、現実の課題へのより効果的な対処が可能になる。
しかし、これらの相互作用をとらえるランダムウォークやホモロジーのような既存の手法は効率的ではない。
本研究は, 単純錯体上の量子ウォークが量子的優位性を示すかどうかを考察する。
合成ラプラシアン(Laplacian)を符号化する新しい量子ウォークを導入する。これは、スペクトル特性が基礎となる単体複合体の位相を反映する重要な数学的対象である。
さらに、複素体のホモロジーにおける調和サイクルの空間を表すラプラシアンの核に射影するユニタリ符号化を構築する。
私たちが提示した斜め複体に対する量子ウォークユニタリの効率的な構築と組み合わせることで、この方法では、トポロジカル構造内の高次相互作用を量子ウォークを利用することができる。
以上の結果から,大規模データセットの量子オラクルを必要とせずに,量子ウォークによる超ポリノミカル量子スピードアップを実現した。
重要なことに、ウォークは正の向きと負の向きの両方を包含する状態空間で動作し、非向きのアプローチと比較してそのサイズを効果的に倍増させる。
これらの対の単純さのコヒーレントな干渉により、組み合わせラプラシアンをエンコードすることができ、そうでなければ不可能である。
この観察は我々の主要な技術的貢献を構成する。
また、可変量子ウォークを構築することで、フレームワークを拡張します。
これらの変種は、(1)正規化された持続ベッチ数を推定し、変形過程を通して位相情報をキャプチャし、(2)特定のQMA$_1$-hard問題を検証することにより、計算複雑性理論における潜在的な応用を示す。
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