論文の概要: G-Adaptive mesh refinement -- leveraging graph neural networks and differentiable finite element solvers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.04516v1
• Date: Fri, 5 Jul 2024 13:57:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-08 13:20:52.759246
• Title: G-Adaptive mesh refinement -- leveraging graph neural networks and differentiable finite element solvers
• Title（参考訳）: G-Adaptive Mesh refinement -- グラフニューラルネットワークと微分可能な有限要素ソルバを活用する
• Authors: James Rowbottom, Georg Maierhofer, Teo Deveney, Katharina Schratz, Pietro Liò, Carola-Bibiane Schönlieb, Chris Budd,
• Abstract要約: メッシュ再配置(r適応性)は、最適なFE解精度を得るために、固定数のメッシュポイントの位置を最適化しようとする。 r適応性に対する最近の機械学習アプローチは、主にそのような古典的手法のための高速なサロゲートの構築に焦点を当てている。 我々の新しいアプローチは、グラフニューラルネットワーク(GNN)によるアーキテクチャと、FEソリューションエラーの直接最小化に基づくトレーニングを組み合わせたものです。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 21.82887690060956
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a novel, and effective, approach to the long-standing problem of mesh adaptivity in finite element methods (FEM). FE solvers are powerful tools for solving partial differential equations (PDEs), but their cost and accuracy are critically dependent on the choice of mesh points. To keep computational costs low, mesh relocation (r-adaptivity) seeks to optimise the position of a fixed number of mesh points to obtain the best FE solution accuracy. Classical approaches to this problem require the solution of a separate nonlinear "meshing" PDE to find the mesh point locations. This incurs significant cost at remeshing and relies on certain a-priori assumptions and guiding heuristics for optimal mesh point location. Recent machine learning approaches to r-adaptivity have mainly focused on the construction of fast surrogates for such classical methods. Our new approach combines a graph neural network (GNN) powered architecture, with training based on direct minimisation of the FE solution error with respect to the mesh point locations. The GNN employs graph neural diffusion (GRAND), closely aligning the mesh solution space to that of classical meshing methodologies, thus replacing heuristics with a learnable strategy, and providing a strong inductive bias. This allows for rapid and robust training and results in an extremely efficient and effective GNN approach to online r-adaptivity. This method outperforms classical and prior ML approaches to r-adaptive meshing on the test problems we consider, in particular achieving lower FE solution error, whilst retaining the significant speed-up over classical methods observed in prior ML work.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,有限要素法(FEM)におけるメッシュ適応性という長年の課題に対して,新しい,効果的なアプローチを提案する。 FEソルバは偏微分方程式(PDE)を解く強力なツールであるが、そのコストと精度はメッシュポイントの選択に大きく依存する。 計算コストを低く抑えるため、メッシュ再配置(r適応性)は固定数のメッシュポイントの位置を最適化し、最高のFEソリューション精度を得る。 この問題に対する古典的なアプローチは、メッシュポイントの位置を見つけるために、別の非線形「メッシング」PDEの解を必要とする。 このことは、特定のアプリオリ仮定と最適メッシュ点位置の誘導ヒューリスティックに頼り、リメッシングのかなりのコストを発生させる。 r適応性に対する最近の機械学習アプローチは、主にそのような古典的手法のための高速なサロゲートの構築に焦点を当てている。 我々の新しいアプローチは、グラフニューラルネットワーク(GNN)によるアーキテクチャと、メッシュポイント位置に関するFEソリューションエラーの直接最小化に基づくトレーニングを組み合わせたものです。 GNNはグラフニューラルネットワーク拡散(GRAND)を採用し、メッシュソリューション空間を古典的なメッシュ手法と密接に整合させ、ヒューリスティックを学習可能な戦略に置き換え、強い帰納バイアスを与える。 これにより、迅速で堅牢なトレーニングが可能になり、結果としてオンラインr-adaptivityに対する極めて効率的で効果的なGNNアプローチが実現される。 この手法は、従来のMLの手法よりも高い高速化を維持しつつ、特に低いFE解誤差を達成することを考えるテスト問題に対して、古典的および先行的なMLアプローチよりも優れたr適応的メッシュ化を実現する。

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