論文の概要: G-Adaptivity: optimised graph-based mesh relocation for finite element methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.04516v2
• Date: Thu, 06 Feb 2025 09:58:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-07 15:30:40.25761
• Title: G-Adaptivity: optimised graph-based mesh relocation for finite element methods
• Title（参考訳）: G適応性:有限要素法のための最適化グラフベースのメッシュ再配置
• Authors: James Rowbottom, Georg Maierhofer, Teo Deveney, Eike Mueller, Alberto Paganini, Katharina Schratz, Pietro Liò, Carola-Bibiane Schönlieb, Chris Budd,
• Abstract要約: メッシュ再配置(r適応性)は、メッシュ幾何学を最適化し、与えられた計算予算で最適解の精度を得る。 最近の機械学習のアプローチは、そのような古典的な手法のための高速なサロゲートの構築に焦点を当てている。 有限要素法(FEM)における最適メッシュ転位を実現するための,新しい,効果的なアプローチを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 20.169049222190853
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a novel, and effective, approach to achieve optimal mesh relocation in finite element methods (FEMs). The cost and accuracy of FEMs is critically dependent on the choice of mesh points. Mesh relocation (r-adaptivity) seeks to optimise the mesh geometry to obtain the best solution accuracy at given computational budget. Classical r-adaptivity relies on the solution of a separate nonlinear "meshing" PDE to determine mesh point locations. This incurs significant cost at remeshing, and relies on estimates that relate interpolation- and FEM-error. Recent machine learning approaches have focused on the construction of fast surrogates for such classical methods. Instead, our new approach trains a graph neural network (GNN) to determine mesh point locations by directly minimising the FE solution error from the PDE system Firedrake to achieve higher solution accuracy. Our GNN architecture closely aligns the mesh solution space to that of classical meshing methodologies, thus replacing classical estimates for optimality with a learnable strategy. This allows for rapid and robust training and results in an extremely efficient and effective GNN approach to online r-adaptivity. Our method outperforms both classical, and prior ML, approaches to r-adaptive meshing. In particular, it achieves lower FE solution error, whilst retaining the significant speed-up over classical methods observed in prior ML work.
• Abstract（参考訳）: 有限要素法(FEM)における最適メッシュ再配置を実現するための,新しい,効果的なアプローチを提案する。 FEMのコストと精度はメッシュポイントの選択に大きく依存する。 メッシュ再配置(r適応性)は、メッシュ幾何学を最適化し、与えられた計算予算で最適解の精度を得る。 古典的な r-適応性は、メッシュ点の位置を決定するために別の非線形「メッシング」PDEの解に依存する。 これは補間とFEMエラーに関連する見積もりに依存するため、リメッシングにおいてかなりのコストがかかる。 最近の機械学習のアプローチは、そのような古典的な手法のための高速なサロゲートの構築に焦点を当てている。 代わりに、新しいアプローチでは、グラフニューラルネットワーク(GNN)を使用して、PDEシステムFiredrakeから直接FEソリューションエラーを最小化し、より高いソリューション精度を実現する。 我々のGNNアーキテクチャは、メッシュソリューション空間を古典的なメッシュ手法と密接に一致させ、古典的な最適性の見積を学習可能な戦略に置き換える。 これにより、迅速で堅牢なトレーニングが可能になり、結果としてオンラインr-adaptivityに対する極めて効率的で効果的なGNNアプローチが実現される。 提案手法は,従来のMLよりも,r適応メッシュ方式の方が優れている。 特に、以前のML作業で観測された古典的手法よりも大幅な高速化を維持しながら、低いFE解誤差を達成する。

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