論文の概要: A note on the differential spectrum of the Ness-Helleseth function
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.03189v1
- Date: Thu, 5 Sep 2024 02:28:17 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-06 22:18:11.349913
- Title: A note on the differential spectrum of the Ness-Helleseth function
- Title（参考訳）: Ness-Helleseth関数の微分スペクトルについて
- Authors: Ketong Ren, Maosheng Xiong, Haode Yan,
- Abstract要約: ネッス=ヘレセス関数$f_u$から生じる微分方程式をより慎重に研究する。
そのような$u$に対する$f_u$の微分スペクトルを2つの二次的文字和の観点から表現する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.776869981132844
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Let $n\geqslant3$ be an odd integer and $u$ an element in the finite field $\gf_{3^n}$. The Ness-Helleseth function is the binomial $f_u(x)=ux^{d_1}+x^{d_2}$ over $\gf_{3^n}$, where $d_1=\frac{3^n-1}{2}-1$ and $d_2=3^n-2$. In 2007, Ness and Helleseth showed that $f_u$ is an APN function when $\chi(u+1)=\chi(u-1)=\chi(u)$, is differentially $3$-uniform when $\chi(u+1)=\chi(u-1)\neq\chi(u)$, and has differential uniformity at most 4 if $ \chi(u+1)\neq\chi(u-1)$ and $u\notin\gf_3$. Here $\chi(\cdot)$ denotes the quadratic character on $\gf_{3^n}$. Recently, Xia et al. determined the differential uniformity of $f_u$ for all $u$ and computed the differential spectrum of $f_u$ for $u$ satisfying $\chi(u+1)=\chi(u-1)$ or $u\in\gf_3$. The remaining problem is the differential spectrum of $f_u$ with $\chi(u+1)\neq\chi(u-1)$ and $u\notin\gf_3$. In this paper, we fill in the gap. By studying differential equations arising from the Ness-Helleseth function $f_u$ more carefully, we express the differential spectrum of $f_u$ for such $u$ in terms of two quadratic character sums. This complements the previous work of Xia et al.
- Abstract（参考訳）: n\geqslant3$ を奇整数とし、$u$ を有限体 $\gf_{3^n}$ の元とする。
Ness-Helleseth 関数は二項 $f_u(x)=ux^{d_1}+x^{d_2}$ over $\gf_{3^n}$, ここで $d_1=\frac{3^n-1}{2}-1$ と $d_2=3^n-2$ である。
2007年、Ness and Helleseth は、$f_u$ が APN 関数であるとは、$\chi(u+1)=\chi(u-1)=\chi(u)$ が、$\chi(u+1)=\chi(u-1)\neq\chi(u)$ が微分可能で、$ \chi(u+1)\neq\chi(u-1)$ と $u\notin\gf_3$ が微分一様であることを証明した。
ここで$\chi(\cdot)$は$\gf_{3^n}$の二次文字を表す。
最近、Xiaらはすべての$u$に対して$f_u$の微分均一性を決定し、$u$に対して$f_u$の微分スペクトルを$\chi(u+1)=\chi(u-1)$または$u\in\gf_3$で計算した。
残りの問題は、$f_u$と$\chi(u+1)\neq\chi(u-1)$と$u\notin\gf_3$の微分スペクトルである。
本稿では,そのギャップを埋める。
ネッス=ヘレセス関数$f_u$から生じる微分方程式をより慎重に研究することにより、そのような$u$に対する微分スペクトルを2つの二次指標和の観点から表現する。
これはXia et al の以前の著作を補完する。
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