論文の概要: Rationality of Four-Valued Families of Weil Sums of Binomials

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.14414v2
• Date: Sun, 7 Apr 2024 00:42:11 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-10 05:07:30.554925
• Title: Rationality of Four-Valued Families of Weil Sums of Binomials
• Title（参考訳）: 二項の和和の4値家族の合理性
• Authors: Daniel J. Katz, Allison E. Wong,
• Abstract要約: K psi(xs - u x)$ における$WK,s_u=sum_x という形の双項の弱和について検討する。 ワイルスペクトルが正確に4つの異なる値を含むならば、それらはすべて有理整数でなければならないことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.752538702870792
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We investigate the rationality of Weil sums of binomials of the form $W^{K,s}_u=\sum_{x \in K} \psi(x^s - u x)$, where $K$ is a finite field whose canonical additive character is $\psi$, and where $u$ is an element of $K^{\times}$ and $s$ is a positive integer relatively prime to $|K^\times|$, so that $x \mapsto x^s$ is a permutation of $K$. The Weil spectrum for $K$ and $s$, which is the family of values $W^{K,s}_u$ as $u$ runs through $K^\times$, is of interest in arithmetic geometry and in several information-theoretic applications. The Weil spectrum always contains at least three distinct values if $s$ is nondegenerate (i.e., if $s$ is not a power of $p$ modulo $|K^\times|$, where $p$ is the characteristic of $K$). It is already known that if the Weil spectrum contains precisely three distinct values, then they must all be rational integers. We show that if the Weil spectrum contains precisely four distinct values, then they must all be rational integers, with the sole exception of the case where $|K|=5$ and $s \equiv 3 \pmod{4}$.
• Abstract（参考訳）: W^{K,s}_u=\sum_{x \in K} \psi(x^s - u x)$, where $K$ is a finite field that canonical additive character is $\psi$, and $u$ is a element of $K^{\times}$ and $s$ is a positive integer relative prime to $|K^\times|$, that $x \mapsto x^s$ is a permutation of $K$。 W^{K,s}_u$ as $u$ run through $K^\times$のWeilスペクトルは、算術幾何学やいくつかの情報理論の応用に関心がある。 ヴェイユスペクトルは常に、$s$が非退化であれば少なくとも3つの異なる値を含む(すなわち、$s$が$p$ modulo $|K^\times|$のパワーではないなら、$p$は$K$の特徴である)。 ヴェイユスペクトルが正確に3つの異なる値を含むならば、それらはすべて有理整数でなければならないことは既に知られている。 ワイルスペクトルが正確に4つの異なる値を含むならば、これらはすべて有理整数でなければならないが、この場合の唯一の例外は、$|K|=5$ と $s \equiv 3 \pmod{4}$ である。

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