論文の概要: Toward Efficient Kernel-Based Solvers for Nonlinear PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.11165v1
• Date: Tue, 15 Oct 2024 01:00:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-16 14:01:42.499720
• Title: Toward Efficient Kernel-Based Solvers for Nonlinear PDEs
• Title（参考訳）: 非線形PDEの効率的なカーネルベース解法に向けて
• Authors: Zhitong Xu, Da Long, Yiming Xu, Guang Yang, Shandian Zhe, Houman Owhadi,
• Abstract要約: 本稿では,非線形偏微分方程式(PDE)を効率的に解くための新しいカーネル学習フレームワークを提案する。 カーネルに微分演算子を埋め込む最先端のカーネルソルバとは対照的に,本手法ではこれらの演算子をカーネルから排除する。 我々は、標準カーネル形式を用いて解をモデル化し、導関数を計算するために補間剤を区別する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.975293084297014
• License:
• Abstract: This paper introduces a novel kernel learning framework toward efficiently solving nonlinear partial differential equations (PDEs). In contrast to the state-of-the-art kernel solver that embeds differential operators within kernels, posing challenges with a large number of collocation points, our approach eliminates these operators from the kernel. We model the solution using a standard kernel interpolation form and differentiate the interpolant to compute the derivatives. Our framework obviates the need for complex Gram matrix construction between solutions and their derivatives, allowing for a straightforward implementation and scalable computation. As an instance, we allocate the collocation points on a grid and adopt a product kernel, which yields a Kronecker product structure in the interpolation. This structure enables us to avoid computing the full Gram matrix, reducing costs and scaling efficiently to a large number of collocation points. We provide a proof of the convergence and rate analysis of our method under appropriate regularity assumptions. In numerical experiments, we demonstrate the advantages of our method in solving several benchmark PDEs.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,非線形偏微分方程式(PDE)を効率的に解くための新しいカーネル学習フレームワークを提案する。 カーネルに微分演算子を埋め込んだ最先端のカーネルソルバとは対照的に,多数のコロケーションポイントを持つ課題を提起するため,本手法ではこれらの演算子をカーネルから排除する。 我々は、標準カーネル補間形式を用いて解をモデル化し、導関数を計算するために補間剤を区別する。 我々のフレームワークは、ソリューションとそのデリバティブ間の複雑なグラム行列構築の必要性をなくし、簡単な実装とスケーラブルな計算を可能にします。 例えば、コロケーションポイントをグリッドに割り当て、製品カーネルを採用して、補間においてKronecker積構造を生成する。 この構造により、全グラム行列の計算を避け、コストを削減し、多数のコロケーションポイントに効率的にスケーリングできる。 適切な正則性仮定の下で,本手法の収束と速度解析の証明を行う。 数値実験では、いくつかのベンチマークPDEを解く際の手法の利点を実証する。

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