論文の概要: A Statistical Machine Learning Approach for Adapting Reduced-Order Models using Projected Gaussian Process

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.14090v1
• Date: Fri, 18 Oct 2024 00:02:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-21 14:26:19.305557
• Title: A Statistical Machine Learning Approach for Adapting Reduced-Order Models using Projected Gaussian Process
• Title（参考訳）: ガウス過程を用いた低次モデル適応のための統計的機械学習手法
• Authors: Xiao Liu, Xinchao Liu,
• Abstract要約: 適切な直交分解(POD)は、低次元の部分空間にまたがる最適基底モードを計算する。 本稿では,予測ガウス過程 (pGP) を提案し,PODベースを教師付き統計学習問題として適用する問題を定式化する。 パラメータ変化に対してPODベースを適用するために提案したpGPの利点を示す数値的な例を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.658371840624581
• License:
• Abstract: The Proper Orthogonal Decomposition (POD) computes the optimal basis modes that span a low-dimensional subspace where the Reduced-Order Models (ROMs) reside. Because a governing equation is often parameterized by a set of parameters, challenges immediately arise when one would like to investigate how systems behave differently over the parameter space (in design, control, uncertainty quantification and real-time operations). In this case, the POD basis needs to be updated so as to adapt ROM that accurately captures the variation of a system's behavior over its parameter space. This paper proposes a Projected Gaussian Process (pGP) and formulate the problem of adapting POD basis as a supervised statistical learning problem, for which the goal is to learn a mapping from the parameter space to the Grassmann Manifold that contains the optimal vector subspaces. A mapping is firstly found between the Euclidean space and the horizontal space of an orthogonal matrix that spans a reference subspace in the Grassmann Manifold. Then, a second mapping from the horizontal space to the Grassmann Manifold is established through the Exponential/Logarithm maps between the manifold and its tangent space. Finally, given a new parameter, the conditional distribution of a vector can be found in the Euclidean space using the Gaussian Process (GP) regression, and such a distribution is projected to the Grassmann Manifold that yields the optimal subspace for the new parameter. The proposed statistical learning approach allows us to optimally estimate model parameters given data (i.e., the prediction/interpolation becomes problem-specific), and quantify the uncertainty associated with the prediction. Numerical examples are presented to demonstrate the advantages of the proposed pGP for adapting POD basis against parameter changes.
• Abstract（参考訳）: Proper Orthogonal Decomposition (POD) は、低次元の部分空間にまたがる最適基底モードを計算する。 支配方程式はパラメータの集合によってパラメータ化されることが多いため、パラメータ空間(設計、制御、不確かさの定量化、リアルタイム操作)においてシステムがどのように異なる振る舞いをするのかを調査したい場合、すぐに問題が発生する。 この場合、パラメータ空間上のシステムの振る舞いの変動を正確にキャプチャするROMに適応するために、PODベースを更新する必要がある。 本稿では, パラメータ空間から最適ベクトル部分空間を含むグラスマン多様体への写像を学習することを目的とした, 教師付き統計学習問題としてPODベースを適用することの問題を定式化して, ガウス過程(pGP)を提案する。 写像はまずユークリッド空間とグラスマン多様体の参照部分空間にまたがる直交行列の水平空間の間に見つかる。 すると、水平空間からグラスマン多様体への第二の写像は、多様体とその接空間の間の指数/対数写像を通して成立する。 最後に、新しいパラメータが与えられたとき、ベクトルの条件分布はガウス過程(GP)回帰(英語版)を用いてユークリッド空間で見つけることができ、そのような分布は新しいパラメータに対して最適な部分空間をもたらすグラスマン多様体に投影される。 提案した統計的学習手法により、与えられたデータ(予測・補間が問題固有となる)のモデルパラメータを最適に推定し、予測に関連する不確実性を定量化することができる。 パラメータ変化に対してPODベースを適用するために提案したpGPの利点を示す数値的な例を示す。

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