論文の概要: Low-degree approximation of QAC$^0$ circuits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.00976v1
• Date: Fri, 01 Nov 2024 19:04:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-05 21:28:12.522424
• Title: Low-degree approximation of QAC$^0$ circuits
• Title（参考訳）: QAC$^0$回路の低次近似
• Authors: Ashley Montanaro, Changpeng Shao, Dominic Verdon,
• Abstract要約: パリティ関数はQAC$0$で計算できないことを示す。 また、$n$ビットのパリティをおよそ計算する深さ$d$のQAC回路には、$2widetildeOmega(n1/d)$が必要であることも示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: QAC$^0$ is the class of constant-depth quantum circuits with polynomially many ancillary qubits, where Toffoli gates on arbitrarily many qubits are allowed. In this work, we show that the parity function cannot be computed in QAC$^0$, resolving a long-standing open problem in quantum circuit complexity more than twenty years old. As a result, this proves ${\rm QAC}^0 \subsetneqq {\rm QAC}_{\rm wf}^0$. We also show that any QAC circuit of depth $d$ that approximately computes parity on $n$ bits requires $2^{\widetilde{\Omega}(n^{1/d})}$ ancillary qubits, which is close to tight. This implies a similar lower bound on approximately preparing cat states using QAC circuits. Finally, we prove a quantum analog of the Linial-Mansour-Nisan theorem for QAC$^0$. This implies that, for any QAC$^0$ circuit $U$ with $a={\rm poly}(n)$ ancillary qubits, and for any $x\in\{0,1\}^n$, the correlation between $Q(x)$ and the parity function is bounded by ${1}/{2} + 2^{-\widetilde{\Omega}(n^{1/d})}$, where $Q(x)$ denotes the output of measuring the output qubit of $U|x,0^a\rangle$. All the above consequences rely on the following technical result. If $U$ is a QAC$^0$ circuit with $a={\rm poly}(n)$ ancillary qubits, then there is a distribution $\mathcal{D}$ of bounded polynomials of degree polylog$(n)$ such that with high probability, a random polynomial from $\mathcal{D}$ approximates the function $\langle x,0^a| U^\dag Z_{n+1} U |x,0^a\rangle$ for a large fraction of $x\in \{0,1\}^n$. This result is analogous to the Razborov-Smolensky result on the approximation of AC$^0$ circuits by random low-degree polynomials.
• Abstract（参考訳）: QAC$^0$(QAC$^0$)は、多項式的に多くの補助量子ビットを持つ定数深さ量子回路のクラスであり、トフォリは任意に多くの量子ビットにゲートする。 本研究では、20年以上前の量子回路複雑性における長年の未解決問題を解決するため、パリティ関数をQAC$^0$で計算することはできないことを示す。 その結果、${\rm QAC}^0 \subsetneqq {\rm QAC}_{\rm wf}^0$ が証明される。 また、$n$ビットのパリティを近似的に計算する深さ$d$のQAC回路は、$2^{\widetilde{\Omega}(n^{1/d})}$ Acillary qubits を必要とする。 これはQAC回路を用いて、ほぼ準備された猫の状態に類似した下界を示す。 最後に、QAC$^0$に対してLinial-Mansour-Nisan定理の量子類似性を証明する。 これは、任意のQAC$^0$ circuit $U$ with $a={\rm poly}(n)$ acillary qubits, and for any $x\in\{0,1\}^n$, the correlation between $Q(x)$ and the parity function is bounded by ${1}/{2} + 2^{-\widetilde{\Omega}(n^{1/d})}$, $Q(x)$は$U|x,0^a\rangle$の出力量子ビットを測定する出力を表す。 上記の結果はすべて、以下の技術的結果に依存している。 U$ が $a={\rm poly}(n)$ acillary qubits を持つ QAC$^0$ 回路であれば、高確率で $\mathcal{D}$ のランダム多項式が函数 $\langle x,0^a| U^\dag Z_{n+1} U |x,0^a\rangle$ を $x\in \{0,1\}^n$ の大きな分数に対して近似するような分布 $\mathcal{D}$ が存在する。 この結果は、ランダムな低次多項式によるAC$^0$回路の近似におけるラズボロフ・スモレンスキーの結果に類似している。

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