論文の概要: Statistical Convergence Rates of Optimal Transport Map Estimation between General Distributions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.08064v1
- Date: Wed, 11 Dec 2024 03:18:17 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-12 14:01:17.256300
- Title: Statistical Convergence Rates of Optimal Transport Map Estimation between General Distributions
- Title（参考訳）: 一般分布間の最適輸送マップ推定の統計的収束率
- Authors: Yizhe Ding, Runze Li, Lingzhou Xue,
- Abstract要約: 本研究の目的は,OTマップ推定の範囲を広げ,理論と実践のギャップを埋めることである。
本稿では,Brenierのポテンシャルに対する強い凸性仮定を伴わずに,Sieveプラグイン推定器を導入し,収束率を確立する。
また,ニューラルネットワークを用いたOTマップ推定を効率的に解くために,スケーラブルなアルゴリズムを開発した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.326725299573754
- License:
- Abstract: This paper studies the convergence rates of optimal transport (OT) map estimators, a topic of growing interest in statistics, machine learning, and various scientific fields. Despite recent advancements, existing results rely on regularity assumptions that are very restrictive in practice and much stricter than those in Brenier's Theorem, including the compactness and convexity of the probability support and the bi-Lipschitz property of the OT maps. We aim to broaden the scope of OT map estimation and fill this gap between theory and practice. Given the strong convexity assumption on Brenier's potential, we first establish the non-asymptotic convergence rates for the original plug-in estimator without requiring restrictive assumptions on probability measures. Additionally, we introduce a sieve plug-in estimator and establish its convergence rates without the strong convexity assumption on Brenier's potential, enabling the widely used cases such as the rank functions of normal or t-distributions. We also establish new Poincar\'e-type inequalities, which are proved given sufficient conditions on the local boundedness of the probability density and mild topological conditions of the support, and these new inequalities enable us to achieve faster convergence rates for the Donsker function class. Moreover, we develop scalable algorithms to efficiently solve the OT map estimation using neural networks and present numerical experiments to demonstrate the effectiveness and robustness.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、統計学、機械学習、および様々な科学分野への関心が高まる話題である最適輸送(OT)マップ推定器の収束率について検討する。
最近の進歩にもかかわらず、既存の結果は実際に非常に制限的でブレニエの定理よりも厳密な正則性仮定に依存しており、確率支援のコンパクト性と凸性やOT写像のビ・リプシッツ性を含んでいる。
本研究の目的は,OTマップ推定の範囲を広げ,理論と実践のギャップを埋めることである。
ブレニエポテンシャルに対する強い凸性仮定を考えると、確率測度に対する制限的な仮定を必要とせず、最初に元のプラグイン推定器の漸近収束率を確立する。
さらに,Brenierのポテンシャルに対する強い凸性仮定を伴わずに,Sieve Plug-in 推定器を導入し,収束率を確立することにより,正規分布やt分布の階数関数などの広く用いられるケースを実現する。
また、確率密度の局所的有界性やサポートの穏やかな位相的条件について十分な条件が与えられる新しいポアンカー型不等式も確立し、これらの新しい不等式はドンスカー函数クラスに対するより高速な収束率を達成することができる。
さらに,ニューラルネットワークを用いたOTマップ推定を効率的に解くためのスケーラブルなアルゴリズムを開発し,その有効性とロバスト性を示す数値実験を行った。
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