論文の概要: Rates of Estimation of Optimal Transport Maps using Plug-in Estimators
via Barycentric Projections
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.01718v1
- Date: Sun, 4 Jul 2021 19:50:20 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-07-06 14:46:59.868168
- Title: Rates of Estimation of Optimal Transport Maps using Plug-in Estimators
via Barycentric Projections
- Title（参考訳）: Barycentric Projectionsを用いたプラグイン推定器を用いた最適輸送地図の推定速度
- Authors: Nabarun Deb, Promit Ghosal, and Bodhisattva Sen
- Abstract要約: 偏心射影によって定義される一般プラグイン推定器の収束率を包括的に解析する。
我々の主な貢献は、最小の滑らかさ仮定の下で進行するバリ中心射影の新しい安定性推定である。
本稿では, 自然離散離散分布および半離散分布推定器の収束率を算出し, この安定度推定の有用性について述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Optimal transport maps between two probability distributions $\mu$ and $\nu$
on $\mathbb{R}^d$ have found extensive applications in both machine learning
and statistics. In practice, these maps need to be estimated from data sampled
according to $\mu$ and $\nu$. Plug-in estimators are perhaps most popular in
estimating transport maps in the field of computational optimal transport. In
this paper, we provide a comprehensive analysis of the rates of convergences
for general plug-in estimators defined via barycentric projections. Our main
contribution is a new stability estimate for barycentric projections which
proceeds under minimal smoothness assumptions and can be used to analyze
general plug-in estimators. We illustrate the usefulness of this stability
estimate by first providing rates of convergence for the natural
discrete-discrete and semi-discrete estimators of optimal transport maps. We
then use the same stability estimate to show that, under additional smoothness
assumptions of Besov type or Sobolev type, wavelet based or kernel smoothed
plug-in estimators respectively speed up the rates of convergence and
significantly mitigate the curse of dimensionality suffered by the natural
discrete-discrete/semi-discrete estimators. As a by-product of our analysis, we
also obtain faster rates of convergence for plug-in estimators of
$W_2(\mu,\nu)$, the Wasserstein distance between $\mu$ and $\nu$, under the
aforementioned smoothness assumptions, thereby complementing recent results in
Chizat et al. (2020). Finally, we illustrate the applicability of our results
in obtaining rates of convergence for Wasserstein barycenters between two
probability distributions and obtaining asymptotic detection thresholds for
some recent optimal-transport based tests of independence.
- Abstract（参考訳）: 2つの確率分布の間の最適輸送写像$\mu$と$\nu$ on $\mathbb{R}^d$は、機械学習と統計の両方に広範な応用を見出した。
実際には、これらのマップは$\mu$と$\nu$に従ってサンプリングされたデータから推定する必要がある。
プラグイン推定器は、計算最適輸送の分野における輸送写像の推定に最もよく用いられる。
本稿では,バリセントリック射影によって定義される一般プラグイン推定器の収束率の包括的解析を行う。
我々の主な貢献は、最小の滑らかさ仮定の下で進行するバリ中心射影の新しい安定性推定であり、一般的なプラグイン推定器の分析に使用できる。
まず, 最適輸送写像の固有離散離散推定値と半離散推定値の収束率を提供することにより, この安定性推定の有用性を示す。
次に,同じ安定性推定値を用いて,besov型やsobolev型といった追加的な平滑性仮定の下で,ウェーブレットベースあるいはカーネル平滑化プラグイン推定器が収束速度を加速し,自然離散離散/半離散推定器が抱える次元の呪いを著しく緩和することを示す。
分析の副産物として,w_2(\mu,\nu)$のプラグイン推定器に対して,上述の平滑性仮定の下で,\mu$ と $\nu$ の間のワッセルシュタイン距離の収束速度が速くなり,chizat などの最近の結果を補完する。
(2020).
最後に,2つの確率分布間におけるwasserstein barycenterの収束率と,最近の最適輸送に基づく独立性テストにおける漸近検出しきい値を求める結果の適用性を示す。
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