論文の概要: Manifold learning and optimization using tangent space proxies

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.12678v1
• Date: Wed, 22 Jan 2025 06:42:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-23 13:28:15.205616
• Title: Manifold learning and optimization using tangent space proxies
• Title（参考訳）: 接空間プロキシを用いたマニフォールド学習と最適化
• Authors: Ryan A. Robinett, Lorenzo Orecchia, Samantha J. Riesenfeld,
• Abstract要約: 任意の多様体上の微分幾何学的プリミティブを効率的に近似する枠組みを提案する。 まず、多様体が閉形式で表現されるような環境で、このフレームワークの有用性を示す。 複素多様体構造が以前に確立された点雲データを用いて、正しい幾何を持つアトラスグラフが点雲から直接学習可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7068557927955381
• License:
• Abstract: We present a framework for efficiently approximating differential-geometric primitives on arbitrary manifolds via construction of an atlas graph representation, which leverages the canonical characterization of a manifold as a finite collection, or atlas, of overlapping coordinate charts. We first show the utility of this framework in a setting where the manifold is expressed in closed form, specifically, a runtime advantage, compared with state-of-the-art approaches, for first-order optimization over the Grassmann manifold. Moreover, using point cloud data for which a complex manifold structure was previously established, i.e., high-contrast image patches, we show that an atlas graph with the correct geometry can be directly learned from the point cloud. Finally, we demonstrate that learning an atlas graph enables downstream key machine learning tasks. In particular, we implement a Riemannian generalization of support vector machines that uses the learned atlas graph to approximate complex differential-geometric primitives, including Riemannian logarithms and vector transports. These settings suggest the potential of this framework for even more complex settings, where ambient dimension and noise levels may be much higher.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,任意の多様体上の微分幾何学的原始体をアトラスグラフ表現を用いて効率的に近似する枠組みを提案する。 最初に、このフレームワークの実用性について、グラスマン多様体上の一階最適化に対して、その多様体が閉形式、具体的には実行時優位性で表されるような環境で示す。 さらに、複雑な多様体構造が以前に確立されていた点雲データ、すなわち高コントラスト画像パッチを用いて、正しい幾何を持つアトラスグラフが点雲から直接学習可能であることを示す。 最後に、アトラスグラフの学習が、下流の機械学習タスクを可能にすることを実証する。 特に、学習したアトラスグラフを用いて、リーマン対数やベクトル輸送を含む複素微分幾何学的プリミティブを近似する支援ベクトルマシンのリーマン一般化を実装する。 これらの設定は、周囲の寸法と騒音レベルがはるかに高くなるような、より複雑な設定のためのこのフレームワークの可能性を示している。

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