論文の概要: Chaos into Order: Neural Framework for Expected Value Estimation of Stochastic Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.03670v1
• Date: Wed, 05 Feb 2025 23:27:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-07 15:30:40.568077
• Title: Chaos into Order: Neural Framework for Expected Value Estimation of Stochastic Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: Chaos into Order:確率的部分微分方程式の期待値推定のためのニューラルネットワークフレームワーク
• Authors: Ísak Pétursson, María Óskarsdóttir,
• Abstract要約: 本稿では,離散化の必要性を排除し,不確実性を明示的にモデル化するSPDE推定のための新しいニューラルネットワークフレームワークを提案する。 これは、SPDEの期待値を直接非分散的に推定できる最初のニューラルネットワークフレームワークであり、科学計算における一歩となる。 本研究は, ニューラルベースSPDEソルバの潜在可能性, 特に従来の手法が不安定な高次元問題に対する可能性を明らかにした。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9944647907864256
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) are fundamental to modeling complex systems in physics, finance, and engineering, yet their numerical estimation remains a formidable challenge. Traditional methods rely on discretization, introducing computational inefficiencies, and limiting applicability in high-dimensional settings. In this work, we introduce a novel neural framework for SPDE estimation that eliminates the need for discretization, enabling direct estimation of expected values across arbitrary spatio-temporal points. We develop and compare two distinct neural architectures: Loss Enforced Conditions (LEC), which integrates physical constraints into the loss function, and Model Enforced Conditions (MEC), which embeds these constraints directly into the network structure. Through extensive experiments on the stochastic heat equation, Burgers' equation, and Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation, we reveal a trade-off: While LEC achieves superior residual minimization and generalization, MEC enforces initial conditions with absolute precision and exceptionally high accuracy in boundary condition enforcement. Our findings highlight the immense potential of neural-based SPDE solvers, particularly for high-dimensional problems where conventional techniques falter. By circumventing discretization and explicitly modeling uncertainty, our approach opens new avenues for solving SPDEs in fields ranging from quantitative finance to turbulence modeling. To the best of our knowledge, this is the first neural framework capable of directly estimating the expected values of SPDEs in an entirely non-discretized manner, offering a step forward in scientific computing.
• Abstract（参考訳）: 確率的部分微分方程式(SPDE)は、物理学、金融学、工学における複雑なシステムをモデル化するための基礎であるが、その数値推定は依然として困難な課題である。 従来の手法は、離散化、計算不効率の導入、高次元設定の適用性制限などに依存していた。 本研究では,SPDE推定のための新しいニューラルネットワークフレームワークを導入し,離散化の必要性を排除し,任意の時空間点間で期待値の直接推定を可能にする。 我々は、損失関数に物理的制約を統合する損失強化条件(LEC)と、これらの制約を直接ネットワーク構造に埋め込むモデル強化条件(MEC)の2つの異なるニューラルネットワークを開発し比較する。 確率的熱方程式、バーガーズ方程式、カーダル・パリ・張(KPZ)方程式に関する広範な実験を通じてトレードオフが明らかになる: LECは残留最小化と一般化が優れているが、MECは境界条件の強制において絶対精度と例外的に高い精度で初期条件を実行する。 本研究は, ニューラルベースSPDEソルバの潜在可能性, 特に従来の手法が不安定な高次元問題に対する可能性を明らかにした。 離散化を回避し,不確実性を明示的にモデル化することにより,定量的財務から乱流モデリングに至るまでの分野においてSPDEを解くための新たな道を開く。 我々の知る限りでは、これはSPDEの期待値を直接非分散的に推定できる最初のニューラルネットワークフレームワークであり、科学計算における一歩となる。

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