論文の概要: Quantum computer formulation of the FKP-operator eigenvalue problem for probabilistic learning on manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.14580v1
• Date: Thu, 20 Feb 2025 14:05:16 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-21 14:26:38.346241
• Title: Quantum computer formulation of the FKP-operator eigenvalue problem for probabilistic learning on manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の確率的学習のためのFKP演算固有値問題の量子コンピュータによる定式化
• Authors: Christian Soize, Loïc Joubert-Doriol, Artur F. Izmaylov,
• Abstract要約: 本稿では、多様体上の確率論的学習(PLoM)の発展における課題に対処する量子コンピューティングの定式化について述べる。 これは高次元フォッカー・プランク作用素のスペクトル問題を解くことを含む。 ラプラシアンおよびポテンシャルの明示的な公式が導出され、パウリ行列式を用いてキュービットに写像される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We present a quantum computing formulation to address a challenging problem in the development of probabilistic learning on manifolds (PLoM). It involves solving the spectral problem of the high-dimensional Fokker-Planck (FKP) operator, which remains beyond the reach of classical computing. Our ultimate goal is to develop an efficient approach for practical computations on quantum computers. For now, we focus on an adapted formulation tailored to quantum computing. The methodological aspects covered in this work include the construction of the FKP equation, where the invariant probability measure is derived from a training dataset, and the formulation of the eigenvalue problem for the FKP operator. The eigen equation is transformed into a Schr\"odinger equation with a potential V, a non-algebraic function that is neither simple nor a polynomial representation. To address this, we propose a methodology for constructing a multivariate polynomial approximation of V, leveraging polynomial chaos expansion within the Gaussian Sobolev space. This approach preserves the algebraic properties of the potential and adapts it for quantum algorithms. The quantum computing formulation employs a finite basis representation, incorporating second quantization with creation and annihilation operators. Explicit formulas for the Laplacian and potential are derived and mapped onto qubits using Pauli matrix expressions. Additionally, we outline the design of quantum circuits and the implementation of measurements to construct and observe specific quantum states. Information is extracted through quantum measurements, with eigenstates constructed and overlap measurements evaluated using universal quantum gates.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,多様体上の確率論的学習(PLoM)の開発において問題となる問題に対処するために,量子コンピューティングの定式化を提案する。 これは高次元フォッカープランク作用素(Fokker-Planck, FKP)のスペクトル問題を解くことを含む。 我々の究極のゴールは、量子コンピュータ上での実用的な計算のための効率的なアプローチを開発することである。 今のところ、量子コンピューティングに合わせた定式化に重点を置いている。 本研究の方法論的側面には、トレーニングデータセットから不変確率測度を導出するFKP方程式の構築と、FKP演算子の固有値問題の定式化が含まれる。 固有方程式は、単純でも多項式表現でもない非代数函数であるポテンシャル V を持つシュリンガー方程式に変換される。 これを解決するために,ガウスソボレフ空間内の多項式カオス展開を利用して,V の多変量多項式近似を構築する手法を提案する。 このアプローチはポテンシャルの代数的性質を保持し、量子アルゴリズムに適応する。 量子コンピューティングの定式化は有限基底表現を使用し、生成と消滅演算子による第2量子化を取り入れている。 ラプラシアンおよびポテンシャルの明示的な公式が導出され、パウリ行列式を用いてキュービットに写像される。 さらに、量子回路の設計の概要と、特定の量子状態の構築と観測のための測定の実装について概説する。 情報は量子測定によって抽出され、固有状態が構築され、普遍的な量子ゲートを用いて重なり合いの測定が評価される。

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