論文の概要: Asymptotic Theory of Eigenvectors for Latent Embeddings with Generalized Laplacian Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.00640v1
• Date: Sat, 01 Mar 2025 22:22:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-05 19:20:57.200807
• Title: Asymptotic Theory of Eigenvectors for Latent Embeddings with Generalized Laplacian Matrices
• Title（参考訳）: 一般化ラプラシア行列を用いた潜伏埋め込みのための固有ベクトルの漸近理論
• Authors: Jianqing Fan, Yingying Fan, Jinchi Lv, Fan Yang, Diwen Yu,
• Abstract要約: 依存は新しいランダムマトリックス理論の 主要なボトルネックです 一般化ラプラシア行列(ATE-GL)を用いた潜伏埋め込みのための固有ベクトルの新しい枠組みを提案する。 提案するATE-GLフレームワークのいくつかの応用について論じ、いくつかの数値例を通してその妥当性を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.874743539416825
• License:
• Abstract: Laplacian matrices are commonly employed in many real applications, encoding the underlying latent structural information such as graphs and manifolds. The use of the normalization terms naturally gives rise to random matrices with dependency. It is well-known that dependency is a major bottleneck of new random matrix theory (RMT) developments. To this end, in this paper, we formally introduce a class of generalized (and regularized) Laplacian matrices, which contains the Laplacian matrix and the random adjacency matrix as a specific case, and suggest the new framework of the asymptotic theory of eigenvectors for latent embeddings with generalized Laplacian matrices (ATE-GL). Our new theory is empowered by the tool of generalized quadratic vector equation for dealing with RMT under dependency, and delicate high-order asymptotic expansions of the empirical spiked eigenvectors and eigenvalues based on local laws. The asymptotic normalities established for both spiked eigenvectors and eigenvalues will enable us to conduct precise inference and uncertainty quantification for applications involving the generalized Laplacian matrices with flexibility. We discuss some applications of the suggested ATE-GL framework and showcase its validity through some numerical examples.
• Abstract（参考訳）: ラプラシア行列は、グラフや多様体のような下層の潜在構造情報を符号化して、多くの実応用で一般的に用いられる。 正規化項の使用は自然に依存を伴うランダム行列を生じさせる。 依存が新しいランダム行列理論(RMT)の発展の大きなボトルネックであることはよく知られている。 そこで本論文では、ラプラス行列とランダム隣接行列を具体とする一般化(正規化)ラプラス行列のクラスを正式に導入し、一般化ラプラス行列(ATE-GL)を用いた潜伏埋め込みに対する固有ベクトルの漸近理論の新しい枠組みを提案する。 我々の新しい理論は、RMTを依存下で扱う一般化二次ベクトル方程式のツールと、局所法則に基づく経験的スパイク固有ベクトルと固有値の繊細な高次漸近展開によって強化される。 スパイクされた固有ベクトルと固有値の両方に対して確立された漸近正規性は、フレキシブルな一般化ラプラス行列を含む応用に対して正確な推論と不確かさの定量化を可能にする。 提案するATE-GLフレームワークのいくつかの応用について論じ、いくつかの数値例を通してその妥当性を示す。

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