論文の概要: Matrix Ordering through Spectral and Nilpotent Structures in Totally Ordered Complex Number Fields

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.10603v1
• Date: Fri, 17 Jan 2025 23:34:17 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-22 14:20:04.799653
• Title: Matrix Ordering through Spectral and Nilpotent Structures in Totally Ordered Complex Number Fields
• Title（参考訳）: 全順序複素数体におけるスペクトル構造と零構造による行列順序付け
• Authors: Shih-Yu Chang,
• Abstract要約: 複素数に対する全順序関係を構築し、一般行列のスペクトル成分と複素固有値の比較を可能にする。 複素数値関数を用いた偏化順序付けの理論的枠組みを確立する。 零成分に対する一般化支配順序を用いて行列関数のジョルダンブロックを特徴づける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.2533084621250143
• License:
• Abstract: Matrix inequalities play a pivotal role in mathematics, generalizing scalar inequalities and providing insights into linear operator structures. However, the widely used L\"owner ordering, which relies on real-valued eigenvalues, is limited to Hermitian matrices, restricting its applicability to non-Hermitian systems increasingly relevant in fields like non-Hermitian physics. To overcome this, we develop a total ordering relation for complex numbers, enabling comparisons of the spectral components of general matrices with complex eigenvalues. Building on this, we introduce the Spectral and Nilpotent Ordering (SNO), a partial order for arbitrary matrices of the same dimensions. We further establish a theoretical framework for majorization ordering with complex-valued functions, which aids in refining SNO and analyzing spectral components. An additional result is the extension of the Schur--Ostrowski criterion to the complex domain. Moreover, we characterize Jordan blocks of matrix functions using a generalized dominance order for nilpotent components, facilitating systematic analysis of non-diagonalizable matrices. Finally, we derive monotonicity and convexity conditions for functions under the SNO framework, laying a new mathematical foundation for advancing matrix analysis.
• Abstract（参考訳）: 行列不等式は数学において重要な役割を担い、スカラー不等式を一般化し、線型作用素構造に関する洞察を与える。 しかし、実数値の固有値に依存する広く使われているL\ "owner ordering" はエルミート行列に制限されており、非エルミート物理学のような分野に関係する非エルミート系に適用性を制限する。 これを解決するために、複素数に対する全順序関係を構築し、一般行列のスペクトル成分と複素固有値の比較を可能にする。 これに基づいて、同じ次元の任意の行列の部分的な順序であるスペクトル・零順序付け(SNO)を導入する。 我々はさらに、SNOの精製やスペクトル成分の分析に役立つ複素数値関数を用いた偏化順序付けの理論的枠組みを確立する。 もう一つの結果は、シュル=オストロフスキの複素領域への拡張である。 さらに、零成分に対する一般化支配順序を用いて行列関数のジョルダンブロックを特徴づけ、非対角化行列の体系的解析を容易にする。 最後に、SNOフレームワークの下での関数に対する単調性および凸性条件を導出し、行列解析を前進させるための新しい数学的基礎を構築した。

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