論文の概要: Stabilizer Ranks, Barnes Wall Lattices and Magic Monotones
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.04101v1
- Date: Thu, 06 Mar 2025 05:20:55 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-07 15:59:07.658756
- Title: Stabilizer Ranks, Barnes Wall Lattices and Magic Monotones
- Title（参考訳）: 安定化剤ランク, バーンズ壁格子, マジックモノトン
- Authors: Amolak Ratan Kalra, Pulkit Sinha,
- Abstract要約: Kliuchnikov と Sch"onnenbeck はバーンズウォール格子、安定化状態、クリフォード演算の間の接続を示した。
安定化器の位置の関数として安定化器の忠実度に最初の定量的な下界を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: In 2024, Kliuchnikov and Sch\"onnenbeck showed a connection between the Barnes Wall lattices, stabilizer states and Clifford operations. In this work, we study their results and relate them to the problem of lower bounding stabilizer ranks. We show the first quantitative lower bound on stabilizer fidelity as a function of stabilizer ranks, which reproduces the linear-by-log lower bound for $\chi_{\delta}({|{H}\rangle^{ \otimes n}})$, i.e, on the approximate stabilizer rank of $|H\rangle^{\otimes n}$. In fact, we show that the lower bound holds even when the fidelity between the approximation and ${|H\rangle}^{\otimes n}$ is exponentially small, which is currently the best lower bound in this regime. Next, we define a new magic monotone for pure states, the Barnes Wall norm, and its corresponding approximate variant. We upper bound these monotones by the $CS$-count of state preparation, and also by the stabilizer ranks. In particular, the upper bound given by the $CS$-count is tight, in the sense that we exhibit states that achieve the bound. Apart from these results, we give a Fidelity Amplification algorithm, which provides a trade-off between approximation error and the stabilizer rank. As a corollary, it gives us a way to compose approximate stabilizer decompositions into approximate decompositions of their tensor products. Finally, we provide an alternate, elementary proof of the existence and density of product states with maximal stabilizer ranks, which was first proven by Lovitz and Steffan (2022), where they used results from algebraic geometry.
- Abstract（参考訳）: 2024年、Kliuchnikov と Sch\"onnenbeck はバーンズウォール格子、安定化状態、クリフォード演算の間の接続を示した。
本研究では,これらの結果について検討し,下界安定度問題と関連づける。
安定化器の階数の関数として安定化器の忠実度に関する最初の量的下界を示し、これは$\chi_{\delta}({|{H}\rangle^{ \otimes n}})$、すなわち、近似安定化器の階数 $|H\rangle^{\otimes n}$ に対して線形閉域を再現する。
実際、下界が近似と${|H\rangle}^{\otimes n}$の間の忠実度が指数関数的に小さくても成り立つことが示される。
次に、純状態に対する新しいマジックモノトン、バーンズウォールノルムとその対応する近似変種を定義する。
我々は、これらのモノトーンを、$CS$-count of state preparedと、安定化器のランクによって上限付けする。
特に、$CS$-count によって与えられる上限は、境界を達成する状態を示すという意味では、厳密である。
これらの結果とは別に、近似誤差と安定化器ランクとのトレードオフを提供するフィデリティ増幅アルゴリズムを提案する。
座標系として、近似安定化器分解をそのテンソル積の近似分解に分解する方法を与える。
最後に、Loviz and Steffan (2022) によって初めて証明され、そこでは代数幾何学の結果を用いた。
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