論文の概要: Computing Isomorphisms between Products of Supersingular Elliptic Curves

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.21535v1
• Date: Thu, 27 Mar 2025 14:26:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-28 12:50:40.016496
• Title: Computing Isomorphisms between Products of Supersingular Elliptic Curves
• Title（参考訳）: 超特異楕円曲線の積間の等方性計算
• Authors: Pierrick Gaudry, Julien Soumier, Pierre-Jean Spaenlehauer,
• Abstract要約: Deligne-Ogus-Shioda定理は、有限体上の超特異楕円曲線の積の間の同型の存在を保証する。 曲線の環を考えると、これらの同型を時間内に明示的に計算する方法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9467360130705919
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• Abstract: The Deligne-Ogus-Shioda theorem guarantees the existence of isomorphisms between products of supersingular elliptic curves over finite fields. In this paper, we present methods for explicitly computing these isomorphisms in polynomial time, given the endomorphism rings of the curves involved. Our approach leverages the Deuring correspondence, enabling us to reformulate computational isogeny problems into algebraic problems in quaternions. Specifically, we reduce the computation of isomorphisms to solving systems of quadratic and linear equations over the integers derived from norm equations. We develop $\ell$-adic techniques for solving these equations when we have access to a low discriminant subring. Combining these results leads to the description of an efficient probabilistic Las Vegas algorithm for computing the desired isomorphisms. Under GRH, it is proved to run in expected polynomial time.
• Abstract（参考訳）: Deligne-Ogus-Shioda定理は、有限体上の超特異楕円曲線の積の間の同型の存在を保証する。 本稿では、曲線の自己準同型環を考えると、これらの同型を多項式時間で明示的に計算する方法を提案する。 提案手法はDeuring対応を利用して,計算等質問題を四元数における代数的問題に再構成する。 具体的には、ノルム方程式から導かれる整数上の二次方程式と線型方程式の系に同型写像の計算を還元する。 我々は、これらの方程式を低判別サブリングにアクセスできる場合に、$$\ell$-adic技術を開発する。 これらの結果を組み合わせることで、所望の同型を計算するための効率的な確率的ラスベガスアルゴリズムが記述される。 GRHの下では、期待される多項式時間で実行されることが証明される。

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