論文の概要: Physics-Informed Neural Networks for One-Dimensional Quantum Well Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.05367v1
- Date: Mon, 07 Apr 2025 16:18:26 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-04-17 04:27:27.754478
- Title: Physics-Informed Neural Networks for One-Dimensional Quantum Well Problems
- Title（参考訳）: 1次元量子井戸問題に対する物理インフォームニューラルネットワーク
- Authors: Soumyadip Sarkar,
- Abstract要約: 我々は3つの量子ポテンシャルに対するシュリンガー方程式を解くために物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を実装した。
PINNはこれらの量子系の基底状態固有関数と固有値を学ぶことができることを示す。
PINNは量子固有値問題に対して有効なアプローチである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We implement physics-informed neural networks (PINNs) to solve the time-independent Schr\"odinger equation for three canonical one-dimensional quantum potentials: an infinite square well, a finite square well, and a finite barrier. The PINN models incorporate trial wavefunctions that exactly satisfy boundary conditions (Dirichlet zeros at domain boundaries), and they optimize a loss functional combining the PDE residual with a normalization constraint. For the infinite well, the ground-state energy is known (E = pi^2 in dimensionless units) and held fixed in training, whereas for the finite well and barrier, the eigenenergy is treated as a trainable parameter. We use fully-connected neural networks with smooth activation functions to represent the wavefunction and demonstrate that PINNs can learn the ground-state eigenfunctions and eigenvalues for these quantum systems. The results show that the PINN-predicted wavefunctions closely match analytical solutions or expected behaviors, and the learned eigenenergies converge to known values. We present training logs and convergence of the energy parameter, as well as figures comparing the PINN solutions to exact results. The discussion addresses the performance of PINNs relative to traditional numerical methods, highlighting challenges such as convergence to the correct eigenvalue, sensitivity to initialization, and the difficulty of modeling discontinuous potentials. We also discuss the importance of the normalization term to resolve the scaling ambiguity of the wavefunction. Finally, we conclude that PINNs are a viable approach for quantum eigenvalue problems, and we outline future directions including extensions to higher-dimensional and time-dependent Schr\"odinger equations.
- Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を導入し、3つの正準1次元量子ポテンシャル(無限平方井戸、有限平方井戸、有限障壁)に対して時間非依存のシュリンガー方程式を解く。
PINNモデルは境界条件を正確に満たす試行波動関数(ドメイン境界におけるディリクレ零点)を組み込み、PDE残差と正規化制約を組み合わせた損失関数を最適化する。
無限の井戸では、基底状態エネルギー(E = pi^2 は非次元単位)が知られ、訓練中に固定されるが、有限の井戸と障壁では、固有エネルギーは訓練可能なパラメータとして扱われる。
我々は、スムーズな活性化関数を持つ完全連結ニューラルネットワークを用いて波動関数を表現し、PINNがこれらの量子系の基底状態固有関数と固有値を学習できることを実証する。
その結果, PINN予測波動関数は解析解や予測挙動と密接に一致し, 学習された固有エネルギーは既知の値に収束することがわかった。
トレーニングログとエネルギーパラメータの収束,およびPINNソリューションを正確な結果と比較した数値を提示する。
この議論は、従来の数値法と比較してPINNの性能を論じ、正しい固有値への収束、初期化への感受性、不連続ポテンシャルのモデル化の難しさなどの課題を浮き彫りにした。
また、波動関数のスケーリングあいまいさを解決するための正規化項の重要性についても論じる。
最後に、PINNは量子固有値問題に対して実行可能なアプローチであり、高次元および時間依存シュリンガー方程式の拡張を含む今後の方向性を概説する。
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