論文の概要: Variational principle for the time evolution operator, its usefulness in effective theories of condensed matter systems and a glimpse into the role played by the quantum geometry of unitary transformations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.09512v1
- Date: Sun, 13 Apr 2025 10:26:26 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-04-23 04:41:49.670681
- Title: Variational principle for the time evolution operator, its usefulness in effective theories of condensed matter systems and a glimpse into the role played by the quantum geometry of unitary transformations
- Title（参考訳）: 時間発展作用素の変分原理、凝縮物質系の有効理論における有用性、およびユニタリ変換の量子幾何学が果たす役割を垣間見る
- Authors: Michael Vogl,
- Abstract要約: ユニタリ作用素に対する量子幾何学的テンソルの一般化がパラメータ進化において中心的な役割を果たすことを示す。
また, 非摂動的手法による縮退摂動理論の改善にも有効であることを示す。
我々の研究は、量子幾何学のような数学的に美しい概念の出現が、典型的な摂動論を超えた近似を掘り下げる機会をいかに示しているかを示唆している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This work discusses a variational approach to determining the time evolution operator. We directly see a glimpse of how a generalization of the quantum geometric tensor for unitary operators plays a central role in parameter evolution. We try the method with the simplest ansatz (a power series in a time-independent Hamiltonian), which yields considerable improvements over a Taylor series. These improvements are because, unlike for a Taylor series of $\exp(-iHt)$, time $t$ is not forced to appear in the same order as $H$, giving more flexibility for the description. We demonstrate that our results can also be employed to improve degenerate perturbation theory in a non-perturbative fashion. We concede that our approach described here is most useful for finite-dimensional Hamiltonians. As a first example of applications to perturbation theory, we present AB bilayer graphene, which we downfolded to a 2x2 model; our energy results considerably improve typical second-order degenerate perturbation theory. We then demonstrate that the approach can also be used to derive a non-perturbatively valid Heisenberg Hamiltonian. Here, the approach for a finite-size lattice yields excellent results. However, the corrections are not ideal for the thermodynamic limit (they depend on the number of sites $N$). Nevertheless, the approach adds almost no additional technical complications over typical perturbative expansions of unitary operators, making it ready for deployment in physics questions. One should expect considerably improved couplings for the degenerate perturbation theory of finite-size systems. More work is needed in the many-body case, and we suggest a possible remedy to issues with the thermodynamic limit. Our work hints at how the appearance of mathematically beautiful concepts like quantum geometry can indicate an opportunity to dig for approximations beyond typical perturbation theory
- Abstract（参考訳）: 本研究は時間発展作用素を決定するための変分的アプローチについて論じる。
ユニタリ作用素に対する量子幾何学的テンソルの一般化がパラメータ進化において中心的な役割を果たす様子を、直接的に見ることができる。
最も単純なアンザッツ(時間に依存しないハミルトン級数)で試すと、テイラー級数よりもかなりの改善が得られる。
これらの改善は、Taylorシリーズの$\exp(-iHt)$とは異なり、time $t$は$H$と同じ順序で表示されなければならず、説明に柔軟性を与えるためである。
また, 非摂動的手法による縮退摂動理論の改善にも有効であることを示す。
ここで述べるアプローチは有限次元ハミルトニアンにとって最も有用である。
摂動理論への応用の第一の例として、AB二層グラフェン(英語版)を2x2モデルに分解し、エネルギーは典型的な2次縮退摂動理論を著しく改善する。
そして、この手法が非摂動的に有効なハイゼンベルク・ハミルトン多様体を導出するのにも使えることを実証する。
ここでは、有限サイズの格子に対するアプローチは優れた結果をもたらす。
しかし、補正は熱力学の極限に対して理想的ではない(それらはサイト数$N$に依存する)。
それでもこのアプローチは、ユニタリ作用素の典型的な摂動的拡張に対して、ほとんど技術的な複雑さを加えず、物理問題への展開の準備が整った。
有限サイズの系の退化摂動理論に対して、かなり改善された結合を期待すべきである。
多数体の場合, より多くの作業が必要であり, 熱力学的限界の問題に対する治療の可能性も示唆した。
我々の研究は、量子幾何学のような数学的に美しい概念の出現が、典型的な摂動論を超えて近似を掘り下げる機会をいかに示しているかを示唆している。
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