論文の概要: Numerical Derivatives, Projection Coefficients, and Truncation Errors in Analytic Hilbert Space With Gaussian Measure

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.16246v2
• Date: Sat, 17 May 2025 18:56:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-22 23:32:14.372211
• Title: Numerical Derivatives, Projection Coefficients, and Truncation Errors in Analytic Hilbert Space With Gaussian Measure
• Title（参考訳）: ガウス測度を用いた解析ヒルベルト空間における数値微分, 射影係数, 軌道誤差
• Authors: M. W. AlMasri,
• Abstract要約: グラフの観点から、与えられた正則関数のテイラー級数展開の先頭項を決定する新しい方法である射影係数アルゴリズムを導入する。 計算された導関数値の精度は、これらの内部積を評価するために使用される数値ルーチンの精度と信頼性に依存する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: We introduce the projection coefficients algorithm, a novel method for determining the leading terms of the Taylor series expansion of a given holomorphic function from a graph perspective, while also analyzing the associated truncation errors. Let $ f(z) $ be a holomorphic function, and let $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denote the inner product defined over an analytic Hilbert space equipped with a Gaussian measure. The derivatives $ f^{(n)}(z) $ at a point $ z_0 $ can be computed theoretically by evaluating an inner product of the form $ f^{(n)}(z_0) = \frac{\langle z^n, f(z) \rangle}{C}, $ where $ C $ is a normalization constant. Specifically, in the Bargmann space (the analytic Hilbert space with a Gaussian weight and orthogonal monomials), this constant is $ \pi $. This result assumes that $ f(z) $ is a holomorphic function of a single complex variable. The accuracy of the computed derivative values depends on the precision and reliability of the numerical routines used to evaluate these inner products. The projection coefficients offer valuable insights into certain properties of analytic functions, such as whether they are odd or even, and whether the $ n $-th derivatives exist at a given point $ z_0 $. Due to its relevance to quantum theory, our approach establishes a correspondence between quantum circuits derived from quantum systems and the theory of analytic functions. This study lays the groundwork for further applications in numerical analysis and approximation theory within Hilbert spaces equipped with Gaussian measures. Additionally, it holds potential for advancing fields such as quantum computing, reproducing kernel Hilbert space (RKHS) methods -- which are widely used in support vector machines (SVM) and other areas of machine learning -- and probabilistic numerics.
• Abstract（参考訳）: グラフの観点から、与えられた正則関数のテイラー級数展開の先頭項を決定する新しい手法である射影係数アルゴリズムを導入し、関連するトランケーション誤差を解析する。 f(z) $ を正則函数とし、$\langle \cdot, \cdot \rangle$ をガウス測度を備えた解析ヒルベルト空間上で定義される内部積とする。 微分 $ f^{(n)}(z) $ at a point $ z_0 $ は、理論上 f^{(n)}(z_0) = \frac{\langle z^n, f(z) \rangle}{C} という形の内積を評価することによって計算できる。 具体的には、バーグマン空間(ガウス重みと直交単項を持つ解析ヒルベルト空間)において、この定数は$ \pi $である。 この結果は、$ f(z) $ が 1 つの複素変数の正則函数であると仮定する。 計算された導関数値の精度は、これらの内部積を評価するために使用される数値ルーチンの精度と信頼性に依存する。 射影係数は解析函数の特定の性質、例えば奇数か偶数か、あるいは与えられた点 z_0 において n 番目の微分が存在するかどうかについての貴重な洞察を与える。 量子論との関係から、量子系から導かれる量子回路と解析関数の理論との対応性を確立する。 この研究は、ガウス測度を備えたヒルベルト空間における解析と近似理論のさらなる応用のための基礎となる。 さらに、量子コンピューティング、再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)メソッド -- ベクトルマシン(SVM)や他の機械学習の分野で広く使われている -- や確率的数値など、前進する分野の可能性を秘めている。

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