論文の概要: Integration Matters for Learning PDEs with Backwards SDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.01078v1
• Date: Fri, 02 May 2025 07:36:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-05 17:21:19.9561
• Title: Integration Matters for Learning PDEs with Backwards SDEs
• Title（参考訳）: 後方SDEを用いたPDE学習における統合の課題
• Authors: Sungje Park, Stephen Tu,
• Abstract要約: 我々のストラトノビッチベースのBSDE法はEMベースの変種を一貫して上回り、PINNと競合する結果が得られることを示す。 本研究は,BSDEをベースとしたPDE解法において,統合スキームが重要な役割を担っていることを示すものである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.538124789414011
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Backward stochastic differential equation (BSDE)-based deep learning methods provide an alternative to Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving high-dimensional partial differential equations (PDEs), offering algorithmic advantages in settings such as stochastic optimal control, where the PDEs of interest are tied to an underlying dynamical system. However, existing BSDE-based solvers have empirically been shown to underperform relative to PINNs in the literature. In this paper, we identify the root cause of this performance gap as a discretization bias introduced by the standard Euler-Maruyama (EM) integration scheme applied to short-horizon self-consistency BSDE losses, which shifts the optimization landscape off target. We find that this bias cannot be satisfactorily addressed through finer step sizes or longer self-consistency horizons. To properly handle this issue, we propose a Stratonovich-based BSDE formulation, which we implement with stochastic Heun integration. We show that our proposed approach completely eliminates the bias issues faced by EM integration. Furthermore, our empirical results show that our Heun-based BSDE method consistently outperforms EM-based variants and achieves competitive results with PINNs across multiple high-dimensional benchmarks. Our findings highlight the critical role of integration schemes in BSDE-based PDE solvers, an algorithmic detail that has received little attention thus far in the literature.
• Abstract（参考訳）: 後方確率微分方程式 (BSDE) に基づくディープラーニング手法は、高次元偏微分方程式 (PDE) を解くための物理インフォームドニューラルネットワーク (PINN) の代わりに、確率最適制御のようなアルゴリズム上の利点を提供する。 しかし、既存のBSDEベースの解法は、文学においてPINNと比較して性能が劣っていることが実証的に示されている。 本稿では,この性能ギャップの根本原因を,目標から最適化ランドスケープをシフトさせる短地自己整合BSDE損失に適用した標準Euler-Maruyama(EM)積分法によって導入された離散化バイアスとして同定する。 このバイアスは、より細かいステップサイズやより長い自己整合性地平線を通じて十分に対処できない。 この問題を適切に処理するために,確率的 Heun 積分を用いて実装した Stratonovich ベースの BSDE の定式化を提案する。 提案手法は,EM統合が直面するバイアス問題を完全に排除することを示す。 さらに,我々の経験的結果から,我々のHeun-based BSDE法はEM-based variantsより一貫して優れており,複数の高次元ベンチマークでPINNsと競合する結果が得られた。 本研究は,BSDEをベースとしたPDE解法において,統合スキームが重要な役割を担っていることを示すものである。

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