論文の概要: A Gaussian Process Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear Partial Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.03492v2
- Date: Thu, 26 Sep 2024 18:12:09 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-09 05:28:28.166060
- Title: A Gaussian Process Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear Partial Differential Equations
- Title（参考訳）: 非線形偏微分方程式を含むフォワードおよび逆問題の解法のためのガウス過程フレームワーク
- Authors: Carlos Mora, Amin Yousefpour, Shirin Hosseinmardi, Ramin Bostanabad,
- Abstract要約: 非線形PDEシステムを解くためにカーネル法とディープNNの長所を統合するためにカーネル重み付き補正残差(CoRes)を導入する。
CoResは幅広いベンチマーク問題の解決において競合する手法を一貫して上回っている。
我々はPDEの解決にカーネル手法を活用することに新たな関心を喚起する可能性があると考えている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Physics-informed machine learning (PIML) has emerged as a promising alternative to conventional numerical methods for solving partial differential equations (PDEs). PIML models are increasingly built via deep neural networks (NNs) whose architecture and training process are designed such that the network satisfies the PDE system. While such PIML models have substantially advanced over the past few years, their performance is still very sensitive to the NN's architecture and loss function. Motivated by this limitation, we introduce kernel-weighted Corrective Residuals (CoRes) to integrate the strengths of kernel methods and deep NNs for solving nonlinear PDE systems. To achieve this integration, we design a modular and robust framework which consistently outperforms competing methods in solving a broad range of benchmark problems. This performance improvement has a theoretical justification and is particularly attractive since we simplify the training process while negligibly increasing the inference costs. Additionally, our studies on solving multiple PDEs indicate that kernel-weighted CoRes considerably decrease the sensitivity of NNs to factors such as random initialization, architecture type, and choice of optimizer. We believe our findings have the potential to spark a renewed interest in leveraging kernel methods for solving PDEs.
- Abstract（参考訳）: 物理インフォームド・機械学習(PIML)は、偏微分方程式(PDE)を解くための従来の数値法に代わる有望な代替手段として登場した。
PIMLモデルは、アーキテクチャとトレーニングプロセスが設計されているディープニューラルネットワーク(NN)を介して、ネットワークがPDEシステムを満たすように、ますます構築される。
このようなPIMLモデルはここ数年で大幅に進歩してきたが、その性能はNNのアーキテクチャや損失関数に非常に敏感である。
この制限により、カーネルメソッドとディープNNの強みを統合するためにカーネル重み付き補正残差(CoRes)を導入し、非線形PDEシステムを解決する。
この統合を実現するために、我々は幅広いベンチマーク問題の解決において競合する手法を一貫して上回るモジュラーでロバストなフレームワークを設計する。
この性能改善は理論的に正当化されており、トレーニングプロセスを単純化し、推論コストを過度に増加させるため、特に魅力的である。
さらに、複数のPDEを解くことで、カーネル重み付きCoReは、ランダム初期化、アーキテクチャタイプ、オプティマイザの選択などの要因に対するNNの感度を著しく低下させることを示す。
我々はPDEの解決にカーネル手法を活用することに新たな関心を喚起する可能性があると考えている。
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