論文の概要: Quantitative Tsirelson's Theorems via Approximate Schur's Lemma and Probabilistic Stampfli's Theorems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.22309v2
• Date: Mon, 15 Sep 2025 15:15:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-16 15:23:16.178272
• Title: Quantitative Tsirelson's Theorems via Approximate Schur's Lemma and Probabilistic Stampfli's Theorems
• Title（参考訳）: 近似シュルの補題と確率論的スタンプフリの定理によるTsirelsonの理論の定量化
• Authors: Xiangling Xu, Marc-Olivier Renou, Igor Klep,
• Abstract要約: 演算子ノルムにおいて$mathcalB$の演算子は$O(d2epsilon)$-closeであり、演算子ノルムは$mathcalA'$の演算子に対して$O(d2epsilon)$-closeであることを示す。 量子情報理論への結果の適用として、定量的なツィレルソンの定理を得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1470070927586018
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Whether an almost-commuting pair of operators must be close to a commuting pair is a central question in operator and matrix theory. We investigate this problem for pairs of $C^*$-subalgebras $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ of $M_d(\mathbb{C})$, showing that each operator in $\mathcal{B}$ is $O(d^2\epsilon)$-close in operator norm to an operator in the commutant $\mathcal{A}'$ under two complementary formulations of "$\epsilon$-almost commutation." One formulation is probabilistic, requiring that the operators of $\mathcal{B}$ have small commutators for most Haar-random unitaries acting on $\mathcal{A}$. This first formulation leads to two novel probabilistic generalizations of Stampfli's theorem, which relates an operator's distance from the scalars to the norm of its inner derivation. The second formulation is deterministic, requiring small commutators between the generators of $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$; we analyze this using an approximate Schur's lemma formulated in terms of Weyl-Heisenberg (clock-and-shift) matrices. As an application of our results to quantum information theory, we obtain a quantitative Tsirelson's theorem: in dimension $d$, every $\epsilon$-almost quantum commuting observable model is well approximated by a quantum tensor-product model with error $O(d^2\epsilon)$.
• Abstract（参考訳）: ほぼ可換な作用素の対が可換なペアに近くなければならないかどうかは、作用素と行列論における中心的な問題である。 この問題を、$C^*$-subalgebras $\mathcal{A}$と$\mathcal{B}$ of $M_d(\mathbb{C})$のペアに対して検討し、$\mathcal{B}$における各作用素が$O(d^2\epsilon)$-close in operator norm to an operator in the commutant $\mathcal{A}'$が「$\epsilon$-almost commutation」の2つの相補的な定式の下にあることを示す。 1 つの定式化は確率的であり、$\mathcal{B}$ の作用素は $\mathcal{A}$ に作用するほとんどのハールランドムユニタリに対して小さな可換子を持つ必要がある。 この最初の定式化は、スカラーから内部微分のノルムへの作用素の距離を関連付けるスタンプフリの定理の2つの新しい確率的一般化をもたらす。 2つ目の定式化は決定論的であり、$\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ のジェネレータ間の小さな可換化を必要とする。 量子情報理論への応用として、次元$d$, every $\epsilon$-almost quantum commuting observable model は誤差$O(d^2\epsilon)$の量子テンソル積モデルによりよく近似される。

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