論文の概要: Enabling Probabilistic Learning on Manifolds through Double Diffusion Maps
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.02254v1
- Date: Mon, 02 Jun 2025 20:58:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-06-05 01:42:09.373695
- Title: Enabling Probabilistic Learning on Manifolds through Double Diffusion Maps
- Title（参考訳）: 二重拡散写像による多様体上の確率論的学習の実現
- Authors: Dimitris G Giovanis, Nikolaos Evangelou, Ioannis G Kevrekidis, Roger G Ghanem,
- Abstract要約: 本稿では,PLoM(Probabilistic Learning on Manifolds)アプローチの拡張に基づく確率的サンプリングのための生成学習フレームワークを提案する。
我々は、システム全体の動的複雑さを保ちながら、潜在空間で直接、全順序ISDEを解く。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.081704060720176
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present a generative learning framework for probabilistic sampling based on an extension of the Probabilistic Learning on Manifolds (PLoM) approach, which is designed to generate statistically consistent realizations of a random vector in a finite-dimensional Euclidean space, informed by a limited (yet representative) set of observations. In its original form, PLoM constructs a reduced-order probabilistic model by combining three main components: (a) kernel density estimation to approximate the underlying probability measure, (b) Diffusion Maps to uncover the intrinsic low-dimensional manifold structure, and (c) a reduced-order Ito Stochastic Differential Equation (ISDE) to sample from the learned distribution. A key challenge arises, however, when the number of available data points N is small and the dimensionality of the diffusion-map basis approaches N, resulting in overfitting and loss of generalization. To overcome this limitation, we propose an enabling extension that implements a synthesis of Double Diffusion Maps -- a technique capable of capturing multiscale geometric features of the data -- with Geometric Harmonics (GH), a nonparametric reconstruction method that allows smooth nonlinear interpolation in high-dimensional ambient spaces. This approach enables us to solve a full-order ISDE directly in the latent space, preserving the full dynamical complexity of the system, while leveraging its reduced geometric representation. The effectiveness and robustness of the proposed method are illustrated through two numerical studies: one based on data generated from two-dimensional Hermite polynomial functions and another based on high-fidelity simulations of a detonation wave in a reactive flow.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,有限次元ユークリッド空間における確率ベクトルの統計的一貫した実現法を,有限次元ユークリッド空間において生成する確率的学習法PLoM(Probabilistic Learning on Manifolds)アプローチの拡張に基づく確率的サンプリングのための生成学習フレームワークを提案する。
元々の形式では、PLoMは3つの主成分を組み合わせることで、低次確率モデルを構築している。
(a)基礎となる確率測度を近似するカーネル密度推定
(b)内在的低次元多様体構造を明らかにする拡散写像、及び
(c) 学習分布から標本化するために、低次イオ確率微分方程式(ISDE)を導出する。
しかし、利用可能なデータポイント N の数が少なく、拡散マップ基底の次元が N に近づくと、一般化の過度な適合と損失が生じる。
この制限を克服するために、高次元空間における滑らかな非線形補間を可能にする非パラメトリック再構成法であるGeometric Harmonics (GH) を用いて、データのマルチスケールな幾何学的特徴をキャプチャする技術であるDouble Diffusion Maps(Double Diffusion Maps)を合成する機能拡張を提案する。
このアプローチにより,システム全体の動的複雑性を保ちつつ,その減少した幾何表現を活用することで,潜在空間における全次ISDEを直接解ける。
提案手法の有効性とロバスト性は, 2次元エルマイト多項式関数から生成されたデータと, 反応流中における起爆波の高忠実度シミュレーションに基づく2つの数値実験により明らかにした。
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