論文の概要: Stability Analysis of Physics-Informed Neural Networks via Variational Coercivity, Perturbation Bounds, and Concentration Estimates

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.13554v1
• Date: Mon, 16 Jun 2025 14:41:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-17 17:28:48.700555
• Title: Stability Analysis of Physics-Informed Neural Networks via Variational Coercivity, Perturbation Bounds, and Concentration Estimates
• Title（参考訳）: 変動保磁力・摂動境界・濃度推定による物理インフォームニューラルネットワークの安定性解析
• Authors: Ronald Katende,
• Abstract要約: PINNは、サンプルコロケーション点上の残差に基づく損失を最小限に抑え、偏微分方程式(PDE)の近似解を導出する。 ネットワーク出力における有界摂動が、残留成分と教師付き損失成分の両方を通してどのように伝播するかを定量化する決定論的安定性境界を導出する。 この研究は、PINNに数学的に基礎を置き、実際に適用可能な安定性の枠組みを提供し、ロバストトレーニングにおける演算子構造、サンプリング設計、機能正則性の役割を明確にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We develop a rigorous stability framework for Physics-Informed Neural Networks (PINNs) grounded in variational analysis, operator coercivity, and explicit perturbation theory. PINNs approximate solutions to partial differential equations (PDEs) by minimizing residual-based losses over sampled collocation points. We derive deterministic stability bounds that quantify how bounded perturbations in the network output propagate through both residual and supervised loss components. Probabilistic stability is established via McDiarmid's inequality, yielding non-asymptotic concentration bounds that link sampling variability to empirical loss fluctuations under minimal assumptions. Generalization from Sobolev-norm training loss to uniform approximation is analyzed using coercivity and Sobolev embeddings, leading to pointwise error control. The theoretical results apply to both scalar and vector-valued PDEs and cover composite loss formulations. Numerical experiments validate the perturbation sensitivity, sample complexity estimates, and Sobolev-to-uniform generalization bounds. This work provides a mathematically grounded and practically applicable stability framework for PINNs, clarifying the role of operator structure, sampling design, and functional regularity in robust training.
• Abstract（参考訳）: 本研究では, 変動解析, 演算子保磁力, 明示摂動理論に基づく物理情報ニューラルネットワーク(PINN)の厳密な安定性の枠組みを開発する。 PINNは、サンプルコロケーション点上の残差に基づく損失を最小限に抑え、偏微分方程式(PDE)の近似解を導出する。 ネットワーク出力における有界摂動が、残留成分と教師付き損失成分の両方を通してどのように伝播するかを定量化する決定論的安定性境界を導出する。 確率的安定性はマクダイアルミドの不等式によって確立され、最小の仮定の下でサンプリング変数と経験的損失変動をリンクする非漸近的な濃度境界が得られる。 ソボレフ-ノルム訓練損失から一様近似への一般化を, 保磁力とソボレフ埋め込みを用いて解析し, ポイントワイズ誤差制御を実現する。 理論的結果は、スカラーおよびベクトル値PDEおよび被覆複合損失定式化の両方に適用できる。 数値実験により,摂動感度,サンプル複雑性推定値,ソボレフ-一様一般化境界値が検証された。 この研究は、PINNに数学的に基礎を置き、実用的に適用可能な安定性の枠組みを提供し、堅牢なトレーニングにおける演算子構造、サンプリング設計、機能正則性の役割を明確にする。

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