論文の概要: Unified theoretical guarantees for stability, consistency, and convergence in neural PDE solvers from non-IID data to physics-informed networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.05030v3
• Date: Fri, 30 May 2025 11:53:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-02 19:47:52.45039
• Title: Unified theoretical guarantees for stability, consistency, and convergence in neural PDE solvers from non-IID data to physics-informed networks
• Title（参考訳）: 非IIDデータから物理インフォームドネットワークへのニューラルPDEソルバの安定性、一貫性、収束に関する統一理論保証
• Authors: Ronald Katende,
• Abstract要約: 現実的なトレーニング条件下では,ニューラルネットワークの安定性,一貫性,収束性に対処する統一的な理論的枠組みを確立する。 従属データを用いた標準教師付き学習では、勾配法に対して一様安定性境界を導出する。 ヘテロジニアスデータを用いたフェデレーション学習では、曲率認識の集約と情報理論の分岐によるモデル不整合性の定量化を行う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We establish a unified theoretical framework addressing the stability, consistency, and convergence of neural networks under realistic training conditions, specifically, in the presence of non-IID data, geometric constraints, and embedded physical laws. For standard supervised learning with dependent data, we derive uniform stability bounds for gradient-based methods using mixing coefficients and dynamic learning rates. In federated learning with heterogeneous data and non-Euclidean parameter spaces, we quantify model inconsistency via curvature-aware aggregation and information-theoretic divergence. For Physics-Informed Neural Networks (PINNs), we rigorously prove perturbation stability, residual consistency, Sobolev convergence, energy stability for conservation laws, and convergence under adaptive multi-domain refinements. Each result is grounded in variational analysis, compactness arguments, and universal approximation theorems in Sobolev spaces. Our theoretical guarantees are validated across parabolic, elliptic, and hyperbolic PDEs, confirming that residual minimization aligns with physical solution accuracy. This work offers a mathematically principled basis for designing robust, generalizable, and physically coherent neural architectures across diverse learning environments.
• Abstract（参考訳）: 我々は、現実的な訓練条件下でのニューラルネットワークの安定性、一貫性、収束性、特に非IIDデータ、幾何学的制約、埋め込み物理法則の存在に対処する統一的な理論的枠組みを確立する。 従属データを用いた標準教師付き学習では,混合係数と動的学習率を用いた勾配法に対して一様安定性境界を導出する。 ヘテロジニアスデータと非ユークリッドパラメータ空間を用いたフェデレート学習では、曲率認識の集約と情報理論の分岐によるモデル不整合の定量化を行う。 物理情報ニューラルネットワーク (PINN) では, 摂動安定性, 残留一貫性, ソボレフ収束, 保存法則のエネルギー安定, 適応多領域改良の下での収束を厳密に証明する。 それぞれの結果は、ソボレフ空間における変分解析、コンパクト性論証、普遍近似定理に基礎を置いている。 我々の理論的保証は、放物型、楕円型、双曲型PDEにまたがって検証され、残留最小化が物理解の精度と一致することを確認した。 この研究は、様々な学習環境における堅牢で一般化可能で物理的に一貫性のあるニューラルネットワークを設計するための数学的に原則化された基礎を提供する。

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