論文の概要: No-go theorems for sublinear-depth group designs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.16005v1
• Date: Thu, 19 Jun 2025 03:51:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-23 19:00:04.929884
• Title: No-go theorems for sublinear-depth group designs
• Title（参考訳）: 部分線型-深部群設計のためのノーゴー定理
• Authors: Maxwell West, Diego García-Martín, N. L. Diaz, M. Cerezo, Martin Larocca,
• Abstract要約: 局所ゲートを持つ1次元のサブ線形回路からなる$G$の部分集合が、$G$に対して近似的な$k$-designを形成することを証明している。 ほとんどの群について、そのようなアンサンブルは、高い確率で、一定深度測定の単一ショットで$k$-designsと区別できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Constructing ensembles of circuits which efficiently approximate the Haar measure over various groups is a long-standing and fundamental problem in quantum information theory. Recently it was shown that one can obtain approximate designs over the unitary group with depths scaling logarithmically in the number of qubits, but that no sublinear-depth approximate designs exist over the orthogonal group. Here we derive, for any group $G$ possessing an invariant state $G^{\otimes k} \lvert\Psi\rangle= \lvert\Psi\rangle$, a lower bound on the diamond distance between the $k$\textsuperscript{th} moment operator of any ensemble of elements of $G$, and that of the Haar measure over $G$. We then use this bound to prove that for many groups of interest, no subset of $G$ consisting of sublinear-depth one-dimensional circuits with local gates can form an approximate $k$-design over $G$. More generally, on a $D$-dimensional lattice, our results imply that such group designs require depths scaling at least as $n^{1/D}$. Moreover, for most of the groups we consider we find that such ensembles can, with high probability, be distinguished from $k$-designs by a single shot of a constant-depth measurement. Among other examples, we show that there is a constant separation between (a) the maximum depth and gate count for which no circuit can approximate even the second moment of random matchgate circuits, and (b) the depth and gate count required to implement the matchgate Haar distribution exactly. We furthermore rule out the existence of sublinear-depth $8$-designs over the Clifford group. Finally, we relax the assumption of working with local gates, and prove the impossibility of obtaining approximate designs over $G$ using any circuit comprised of a sublinear number of gates generated by Pauli strings.
• Abstract（参考訳）: 様々な群のハール測度を効率的に近似する回路のアンサンブルを構成することは、量子情報理論における長年の根本的問題である。 近年、量子ビット数で対数スケールの深さを持つユニタリ群上の近似設計が得られることが示されているが、直交群上の準線形-深さ近似設計は存在しない。 ここでは、任意の群 $G$ が不変状態 $G^{\otimes k} \lvert\Psi\rangle= \lvert\Psi\rangle$ を持つ場合、$k$\textsuperscript{th} モーメント作用素と$G$ の任意の要素のアンサンブルと、$G$ 上のハール測度の間のダイヤモンド距離上の下界を導出する。 この境界を用いて、多くの興味ある群に対して、局所ゲートを持つ1次元の部分線型回路からなる$G$の部分集合が、$G$よりも近似$k$-design(英語版)を形成することを証明している。 より一般的には、$D$次元格子上で、そのような群の設計は少なくとも$n^{1/D}$の深さを必要とすることを示唆する。 さらに、ほとんどの群に対して、そのようなアンサンブルは、高い確率で、一定深度測定の単一ショットで$k$-designsと区別できる。 その他の例として、定常的な分離が存在することを示す。 (a)ランダム整合回路の第2モーメントでさえ回路が近似できない最大深さとゲート数 b)マッチゲートハール分布を正確に実装するために必要な深さとゲート数。 さらに、クリフォード群上の部分線型深度8$-設計の存在を除外する。 最後に、局所ゲートで作業するという仮定を緩和し、パウリ弦が生成する部分線型ゲート数からなる任意の回路を用いて、$G$以上の近似設計を得ることができないことを証明した。

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