論文の概要: Physics-informed neural networks for high-dimensional solutions and snaking bifurcations in nonlinear lattices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.09782v1
• Date: Sun, 13 Jul 2025 20:41:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-15 18:48:23.97679
• Title: Physics-informed neural networks for high-dimensional solutions and snaking bifurcations in nonlinear lattices
• Title（参考訳）: 非線形格子における高次元解とスネーキング分岐に対する物理インフォームニューラルネットワーク
• Authors: Muhammad Luthfi Shahab, Fidya Almira Suheri, Rudy Kusdiantara, Hadi Susanto,
• Abstract要約: 本稿では,非線形格子の重要な課題に対処するための物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)に基づくフレームワークを提案する。 まず,格子モデルから生じる非線形系の解を,レバンス・マルカルトアルゴリズムを用いて近似するためにPINNを用いる。 次に、PINNと連続的な手法を結合して、スネーキング分岐図を計算して拡張する。 線形安定解析では、固有ベクトルを計算するためにPINNを適用し、Sturm-Liouville理論に則って出力制約を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper introduces a framework based on physics-informed neural networks (PINNs) for addressing key challenges in nonlinear lattices, including solution approximation, bifurcation diagram construction, and linear stability analysis. We first employ PINNs to approximate solutions of nonlinear systems arising from lattice models, using the Levenberg-Marquardt algorithm to optimize network weights for greater accuracy. To enhance computational efficiency in high-dimensional settings, we integrate a stochastic sampling strategy. We then extend the method by coupling PINNs with a continuation approach to compute snaking bifurcation diagrams, incorporating an auxiliary equation to effectively track successive solution branches. For linear stability analysis, we adapt PINNs to compute eigenvectors, introducing output constraints to enforce positivity, in line with Sturm-Liouville theory. Numerical experiments are conducted on the discrete Allen-Cahn equation with cubic and quintic nonlinearities in one to five spatial dimensions. The results demonstrate that the proposed approach achieves accuracy comparable to, or better than, traditional numerical methods, especially in high-dimensional regimes where computational resources are a limiting factor. These findings highlight the potential of neural networks as scalable and efficient tools for the study of complex nonlinear lattice systems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,非線形格子における問題に対処するための物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)に基づくフレームワークを提案する。 我々はまず,格子モデルから生じる非線形系の解を近似するためにPINNを用い,より高精度にネットワーク重みを最適化するためにLevanz-Marquardtアルゴリズムを用いた。 高次元設定における計算効率を向上させるために,確率的サンプリング戦略を統合する。 次に, 逐次解枝を効果的に追跡する補助方程式を組み込んで, PINNと連続的手法を結合してスネーキング分岐図を計算し, 拡張する。 線形安定解析では、固有ベクトルを計算するためにPINNを適用し、Sturm-Liouville理論に則って出力制約を導入する。 離散アレン・カーン方程式において, 1次元から5次元の3次および5次非線形性を持つ数値実験を行った。 提案手法は,計算資源が制限要因である高次元状態において,従来の数値手法に匹敵する精度,あるいは優れた精度が得られることを示す。 これらの知見は、複雑な非線形格子系を研究するためのスケーラブルで効率的なツールとして、ニューラルネットワークの可能性を強調している。

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