論文の概要: AI paradigm for solving differential equations: first-principles data generation and scale-dilation operator AI solver

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.23141v1
• Date: Wed, 30 Jul 2025 22:45:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-01 17:19:08.829036
• Title: AI paradigm for solving differential equations: first-principles data generation and scale-dilation operator AI solver
• Title（参考訳）: 微分方程式を解くAIパラダイム--第一原理データ生成とスケールディレーション演算子AIソルバ
• Authors: Xiangshu Gong, Zhiqiang Xie, Xiaowei Jin, Chen Wang, Yanling Qu, Wangmeng Zuo, Hui Li,
• Abstract要約: 多様な微分方程式(DE)を解くためのAIパラダイムを提案する。 事前の知識やランダムフィールドを用いて解を生成し、それをDESに置換する。 計算コストが極端に低い状態で、任意に大量の第一原理一貫性のあるトレーニングデータセットを生成します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 43.3784550457024
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Many problems are governed by differential equations (DEs). Artificial intelligence (AI) is a new path for solving DEs. However, data is very scarce and existing AI solvers struggle with approximation of high frequency components (AHFC). We propose an AI paradigm for solving diverse DEs, including DE-ruled first-principles data generation methodology and scale-dilation operator (SDO) AI solver. Using either prior knowledge or random fields, we generate solutions and then substitute them into the DEs to derive the sources and initial/boundary conditions through balancing DEs, thus producing arbitrarily vast amount of, first-principles-consistent training datasets at extremely low computational cost. We introduce a reversible SDO that leverages the Fourier transform of the multiscale solutions to fix AHFC, and design a spatiotemporally coupled, attention-based Transformer AI solver of DEs with SDO. An upper bound on the Hessian condition number of the loss function is proven to be proportional to the squared 2-norm of the solution gradient, revealing that SDO yields a smoother loss landscape, consequently fixing AHFC with efficient training. Extensive tests on diverse DEs demonstrate that our AI paradigm achieves consistently superior accuracy over state-of-the-art methods. This work makes AI solver of DEs to be truly usable in broad nature and engineering fields.
• Abstract（参考訳）: 多くの問題は微分方程式(DE)によって支配される。 人工知能(AI)は、DESを解くための新しい道である。 しかし、データは非常に少なく、既存のAIソルバは高周波成分(AHFC)の近似に苦慮している。 本稿では,Dre-ruled First-principlesデータ生成方法論とスケールディレーション演算子(SDO)AIソルバを含む多種多様なDESを解決するためのAIパラダイムを提案する。 事前の知識またはランダムフィールドを用いて解を生成し、DESのバランスをとることによって、ソースと初期/境界条件を導出するためにDESに置換し、計算コストが極端に低い任意の量の第一原理整合性トレーニングデータセットを生成する。 本稿では,AHFCの修正にマルチスケールソリューションのフーリエ変換を利用する可逆型SDOを導入し,SDOを用いたDESの時空間結合型注目型トランスフォーマーAIソルバを設計する。 損失関数のヘッセン条件数上の上界は解勾配の平方2ノルムに比例することが証明され、SDOはより滑らかな損失景観を生じ、その結果AHFCを効率的な訓練で固定する。 多様なDESの広範なテストは、私たちのAIパラダイムが最先端の手法よりも一貫して優れた精度を達成していることを示している。 この作業により、DesのAIソルバは、幅広い自然と工学の分野で真に使えるようになる。

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