論文の概要: Enabling Automatic Differentiation with Mollified Graph Neural Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.08277v1
• Date: Fri, 11 Apr 2025 06:16:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-14 14:18:17.112210
• Title: Enabling Automatic Differentiation with Mollified Graph Neural Operators
• Title（参考訳）: 増分グラフニューラル演算子による自動微分の実現
• Authors: Ryan Y. Lin, Julius Berner, Valentin Duruisseaux, David Pitt, Daniel Leibovici, Jean Kossaifi, Kamyar Azizzadenesheli, Anima Anandkumar,
• Abstract要約: 本稿では,任意の測地上での自動微分とエンフェクサクタクティック勾配を計算するための最初の手法であるモリファイドグラフニューラル演算子 (mGNO) を提案する。 正規格子上のPDEの例では、mGNOとオートグレードの組み合わせにより、L2相対データの誤差は有限差に比べて20倍減少した。 また、物理損失のみを使用し、有限差分に必要な分解能よりもはるかに低い精度で、非構造化点雲上のPDEをシームレスに解くことができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 75.3183193262225
• License:
• Abstract: Physics-informed neural operators offer a powerful framework for learning solution operators of partial differential equations (PDEs) by combining data and physics losses. However, these physics losses rely on derivatives. Computing these derivatives remains challenging, with spectral and finite difference methods introducing approximation errors due to finite resolution. Here, we propose the mollified graph neural operator (mGNO), the first method to leverage automatic differentiation and compute \emph{exact} gradients on arbitrary geometries. This enhancement enables efficient training on irregular grids and varying geometries while allowing seamless evaluation of physics losses at randomly sampled points for improved generalization. For a PDE example on regular grids, mGNO paired with autograd reduced the L2 relative data error by 20x compared to finite differences, although training was slower. It can also solve PDEs on unstructured point clouds seamlessly, using physics losses only, at resolutions vastly lower than those needed for finite differences to be accurate enough. On these unstructured point clouds, mGNO leads to errors that are consistently 2 orders of magnitude lower than machine learning baselines (Meta-PDE) for comparable runtimes, and also delivers speedups from 1 to 3 orders of magnitude compared to the numerical solver for similar accuracy. mGNOs can also be used to solve inverse design and shape optimization problems on complex geometries.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームド・ニューラル演算子は、データと物理損失を組み合わせた偏微分方程式(PDE)の解演算子を学習するための強力なフレームワークを提供する。 しかし、これらの物理学的な損失は微分に依存する。 これらの微分の計算は、スペクトルと有限差分法が有限分解能による近似誤差を導入し、依然として困難である。 そこで本研究では,自動微分と任意のジオメトリ上でのemph{exact}勾配の計算を行う最初の手法であるモリファイドグラフニューラル演算子(mGNO)を提案する。 この強化により、不規則な格子や様々な測地での効率的なトレーニングが可能となり、無作為なサンプリング点における物理損失のシームレスな評価が可能となり、一般化が向上する。 正規格子上のPDEの例では、mGNOとオートグレードの組み合わせにより、トレーニングが遅いにもかかわらず、L2相対データの誤差は有限差の20倍減少した。 また、物理損失のみを使用し、有限差分に必要な分解能よりもはるかに低い精度で、非構造化点雲上のPDEをシームレスに解くことができる。 これらの非構造化ポイントクラウドでは、mGNOは、同等のランタイムの機械学習ベースライン(Meta-PDE)よりも2桁低いエラーにつながると同時に、同様の精度で数値解法と比較して1～3桁のスピードアップを提供する。 mGNOは複素幾何学上の逆設計と形状最適化の問題を解決するためにも用いられる。

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