論文の概要: One-shot learning for solution operators of partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.05512v3
- Date: Thu, 6 Jun 2024 20:39:27 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-12 06:17:55.035423
- Title: One-shot learning for solution operators of partial differential equations
- Title（参考訳）: 偏微分方程式の解作用素に対するワンショット学習
- Authors: Anran Jiao, Haiyang He, Rishikesh Ranade, Jay Pathak, Lu Lu,
- Abstract要約: データから偏微分方程式(PDE)で表される物理系の方程式を学習し、解くことは、科学と工学の様々な分野において中心的な課題である。
従来のPDEの数値解法は複雑なシステムでは計算コストがかかり、物理系の完全なPDEが必要となる。
本稿では,1つのPDEソリューション,すなわちワンショット学習のみを必要とする,最初のソリューション演算子学習法を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.559034814756831
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Learning and solving governing equations of a physical system, represented by partial differential equations (PDEs), from data is a central challenge in a variety of areas of science and engineering. Traditional numerical methods for solving PDEs can be computationally expensive for complex systems and require the complete PDEs of the physical system. On the other hand, current data-driven machine learning methods require a large amount of data to learn a surrogate model of the PDE solution operator, which could be impractical. Here, we propose the first solution operator learning method that only requires one PDE solution, i.e., one-shot learning. By leveraging the principle of locality of PDEs, we consider small local domains instead of the entire computational domain and define a local solution operator. The local solution operator is then trained using a neural network, and utilized to predict the solution of a new input function via mesh-based fixed-point iteration (FPI), meshfree local-solution-operator informed neural network (LOINN) or local-solution-operator informed neural network with correction (cLOINN). We test our method on diverse PDEs, including linear or nonlinear PDEs, PDEs defined on complex geometries, and PDE systems, demonstrating the effectiveness and generalization capabilities of our method across these varied scenarios.
- Abstract（参考訳）: データから偏微分方程式(PDE)で表される物理系の方程式を学習し、解くことは、科学と工学の様々な分野において中心的な課題である。
従来のPDEの数値解法は複雑なシステムでは計算コストがかかり、物理系の完全なPDEが必要となる。
一方、現在のデータ駆動機械学習手法では、PDEソリューション演算子の代理モデルを学ぶために大量のデータを必要とする。
本稿では,1つのPDEソリューション,すなわちワンショット学習のみを必要とする,最初のソリューション演算子学習法を提案する。
PDEの局所性の原理を活用することにより、計算領域全体ではなく小さな局所領域を考察し、局所解演算子を定義する。
次に、局所解演算子をニューラルネットワークを用いてトレーニングし、メッシュベースの固定点反復(FPI)、メッシュフリーな局所解演算型ニューラルネットワーク(LOINN)、あるいは補正付き局所解演算型ニューラルネットワーク(cLOINN)を介して新しい入力関数の解を予測する。
本手法は, 線形あるいは非線形PDE, 複素測地上で定義されたPDE, およびPDEシステムを含む多種多種多種多様PDEで検証し, これらの様々なシナリオにおける本手法の有効性と一般化能力を実証した。
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