論文の概要: Graded Quantum Codes: From Weighted Algebraic Geometry to Homological Chain Complexes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.07542v1
- Date: Mon, 11 Aug 2025 01:44:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-08-12 21:23:28.906695
- Title: Graded Quantum Codes: From Weighted Algebraic Geometry to Homological Chain Complexes
- Title（参考訳）: 傾斜量子符号:重み付き代数幾何学からホモロジー連鎖錯体へ
- Authors: Tony Shaska,
- Abstract要約: 我々は、量子誤り訂正符号の2つのクラスを統一した階数付き量子符号を導入する。
応用例としては、ポスト量子暗号、フォールトトレラント量子コンピューティング、グレードニューラルネットワークによる最適化などがある。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce graded quantum codes, unifying two classes of quantum error-correcting codes. The first, quantum weighted algebraic geometry (AG) codes, derives from rational points on hypersurfaces in weighted projective spaces over finite fields. This extends classical AG codes by adding weighted degrees and singularities, enabling self-orthogonal codes via the CSS method with improved distances using algebraic structures and invariants like weighted heights.The second class arises from chain complexes of graded vector spaces, generalizing homological quantum codes to include torsion and multiple gradings. This produces low-density parity-check codes with parameters based on homology ranks, including examples from knot invariants and quantum rotors. A shared grading leads to a refined Singleton bound: $d \leq \frac{n - k + 2}{2} - \frac{\epsilon}{2}$, where $\epsilon > 0$ reflects entropy adjustments from geometric singularities and defects. The bound holds partially for simple orbifolds and is supported by examples over small fields. Applications include post-quantum cryptography, fault-tolerant quantum computing, and optimization via graded neural networks, linking algebraic geometry, homological algebra, and quantum information.
- Abstract（参考訳）: 我々は、量子誤り訂正符号の2つのクラスを統一した階数付き量子符号を導入する。
最初の量子重み付き代数幾何学符号は、有限体上の重み付き射影空間の超曲面上の有理点から導かれる。
これは古典的なAG符号を拡張し、重み付き次数と特異性を加えて、代数的構造や重み付き高さのような不変量を用いて距離を改良したCSS法による自己直交符号を可能にし、第二級は次数付きベクトル空間の連鎖束から生じ、ホモロジー量子符号をトーションと多重階調を含むように一般化する。
これは、結び目不変量や量子ローターの例を含むホモロジーランクに基づくパラメータを持つ低密度パリティチェック符号を生成する。
d \leq \frac{n - k + 2}{2} - \frac{\epsilon}{2}$ ここで、$\epsilon > 0$は幾何学的な特異点や欠陥からエントロピーの調整を反映する。
境界は単純オービフォールドに対して部分的に成り立ち、小体上の例によって支えられる。
応用例としては、量子後暗号、フォールトトレラント量子コンピューティング、代数幾何学、ホモロジー代数、量子情報などが含まれる。
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