論文の概要: Generative Neural Operators of Log-Complexity Can Simultaneously Solve Infinitely Many Convex Programs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.14995v1
• Date: Wed, 20 Aug 2025 18:32:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-22 16:26:46.064739
• Title: Generative Neural Operators of Log-Complexity Can Simultaneously Solve Infinitely Many Convex Programs
• Title（参考訳）: 対数複雑性の生成型ニューラル演算子は、無限に多くの凸プログラムを同時に解くことができる
• Authors: Anastasis Kratsios, Ariel Neufeld, Philipp Schmocker,
• Abstract要約: 普遍近似定理からの最悪のパラメータ境界は、ニューラル作用素(NOs)がほとんどの演算子学習問題を解決するために非現実的に多数のパラメータを必要とすることを示唆している。 本稿では,NOs,生成平衡作用素(GEOs)の特定のクラスに対するギャップを埋める。 本手法は,近似誤差の逆数にのみ対数的に増大するランク,深さ,幅で,任意の精度で対応する解を均一に近似できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.343546104340962
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators (NOs) are a class of deep learning models designed to simultaneously solve infinitely many related problems by casting them into an infinite-dimensional space, whereon these NOs operate. A significant gap remains between theory and practice: worst-case parameter bounds from universal approximation theorems suggest that NOs may require an unrealistically large number of parameters to solve most operator learning problems, which stands in direct opposition to a slew of experimental evidence. This paper closes that gap for a specific class of {NOs}, generative {equilibrium operators} (GEOs), using (realistic) finite-dimensional deep equilibrium layers, when solving families of convex optimization problems over a separable Hilbert space $X$. Here, the inputs are smooth, convex loss functions on $X$, and outputs are the associated (approximate) solutions to the optimization problem defined by each input loss. We show that when the input losses lie in suitable infinite-dimensional compact sets, our GEO can uniformly approximate the corresponding solutions to arbitrary precision, with rank, depth, and width growing only logarithmically in the reciprocal of the approximation error. We then validate both our theoretical results and the trainability of GEOs on three applications: (1) nonlinear PDEs, (2) stochastic optimal control problems, and (3) hedging problems in mathematical finance under liquidity constraints.
• Abstract（参考訳）: ニューラル演算子(英: Neural operator, NOs)は、無限次元空間に配置することで、無限に多くの関連する問題を同時に解くために設計された深層学習モデルである。 普遍近似定理からの最悪の場合のパラメータ境界は、NOが多くの演算子学習問題を解くために非現実的に多数のパラメータを必要とすることを示唆している。 本稿では、分離可能なヒルベルト空間$X$上の凸最適化問題の族族を解く際に、(現実的な)有限次元の深い平衡層を用いた生成的平衡作用素 {NOs} (GEOs) の特定のクラスに対するギャップを閉じる。 ここでは、入力は滑らかで、$X$上の凸損失関数であり、出力は各入力損失によって定義される最適化問題の関連する(近似)解である。 入力損失が適切な無限次元コンパクト集合にある場合、GEOは、近似誤差の逆数においてのみ対数的に増大するランク、深さ、幅で、対応する解を任意の精度で均一に近似できることを示す。 次に,1)非線形PDE,(2)確率論的最適制御問題,(3)流動性制約下での数学的ファイナンスにおけるヘッジ問題という3つの応用法を用いて,GEOの理論的結果とトレーニング性の両方を検証した。

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