論文の概要: Quantum-inspired probability metrics define a complete, universal space for statistical learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.21086v2
• Date: Sat, 06 Sep 2025 15:48:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-09 14:07:03.333344
• Title: Quantum-inspired probability metrics define a complete, universal space for statistical learning
• Title（参考訳）: 量子インスパイアされた確率測度は、統計学習のための完全で普遍的な空間を定義する
• Authors: Logan S. McCarty,
• Abstract要約: 量子状態空間に確率測度を埋め込んだ量子確率測度(QPM)を導入する。 QPMは最大平均離散(MMD)のドロップイン置換として性能を著しく向上させる このアプローチは、確率測度を分析し、操作するための強力なツールの基礎を築いた。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Comparing probability distributions is a core challenge across the natural, social, and computational sciences. Existing methods, such as Maximum Mean Discrepancy (MMD), struggle in high-dimensional and non-compact domains. Here we introduce quantum probability metrics (QPMs), derived by embedding probability measures in the space of quantum states: positive, unit-trace operators on a Hilbert space. This construction extends kernel-based methods and overcomes the incompleteness of MMD on non-compact spaces. Viewed as an integral probability metric (IPM), QPMs have dual functions that uniformly approximate all bounded, uniformly continuous functions on $\mathbb{R}^n$, offering enhanced sensitivity to subtle distributional differences in high dimensions. For empirical distributions, QPMs are readily calculated using eigenvalue methods, with analytic gradients suited for learning and optimization. Although computationally more intensive for large sample sizes ($O(n^3)$ vs. $O(n^2)$), QPMs can significantly improve performance as a drop-in replacement for MMD, as demonstrated in a classic generative modeling task. By combining the rich mathematical framework of quantum mechanics with classical probability theory, this approach lays the foundation for powerful tools to analyze and manipulate probability measures.
• Abstract（参考訳）: 確率分布を比較することは、自然科学、社会科学、計算科学における中心的な課題である。 最大平均離散性(MMD)のような既存の手法は、高次元および非コンパクト領域で苦労する。 ここでは、ヒルベルト空間上の正の単位トレース作用素である量子状態空間に確率測度を埋め込むことによって導かれる量子確率測度(QPM)を紹介する。 この構成はカーネルベースの手法を拡張し、非コンパクト空間上でのMDDの不完全性を克服する。 積分確率計量 (IPM) として見なされ、QPM は、高次元の微妙な分布差に対する感度を高めるために、$\mathbb{R}^n$ 上のすべての有界で一様連続な函数を均一に近似する双対函数を持つ。 経験的分布の場合、QPMは固有値法を用いて容易に計算され、学習と最適化に適した解析勾配を持つ。 大規模なサンプルサイズ (O(n^3)$ vs. $O(n^2)$) では計算量が多いが、古典的な生成モデルタスクで示されているように、QPMはMDDのドロップイン置換としての性能を著しく向上させることができる。 量子力学のリッチな数学的枠組みと古典的確率論を組み合わせることで、この手法は確率測度を解析・操作するための強力なツールの基礎を築いた。

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