論文の概要: Learning functions through Diffusion Maps

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.03758v1
• Date: Wed, 03 Sep 2025 22:57:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-05 20:21:09.991596
• Title: Learning functions through Diffusion Maps
• Title（参考訳）: 拡散マップによる関数の学習
• Authors: Alvaro Almeida Gomez,
• Abstract要約: 我々は、多様体仮説に基づいて拡散マップフレームワークを構築した。 距離行列の低ランク構造に基づく次元減少戦略を導入する。 オンライン更新機構は、新しいデータの効率的な取り込みを可能にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6768558752130311
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We propose a data-driven method for approximating real-valued functions on smooth manifolds, building on the Diffusion Maps framework under the manifold hypothesis. Given pointwise evaluations of a function, the method constructs a smooth extension to the ambient space by exploiting diffusion geometry and its connection to the heat equation and the Laplace-Beltrami operator. To address the computational challenges of high-dimensional data, we introduce a dimensionality reduction strategy based on the low-rank structure of the distance matrix, revealed via singular value decomposition (SVD). In addition, we develop an online updating mechanism that enables efficient incorporation of new data, thereby improving scalability and reducing computational cost. Numerical experiments, including applications to sparse CT reconstruction, demonstrate that the proposed methodology outperforms classical feedforward neural networks and interpolation methods in terms of both accuracy and efficiency.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,滑らかな多様体上の実数値関数を近似するデータ駆動手法を提案する。 関数の点的評価が与えられたとき、拡散幾何学と熱方程式とラプラス・ベルトラミ作用素との接続を利用して周囲空間への滑らかな拡張を構築する。 高次元データの計算課題に対処するため,距離行列の低ランク構造に基づく次元減少戦略を導入し,特異値分解(SVD)によって明らかにした。 さらに,新しいデータの効率的な取り込みを可能にするオンライン更新機構を開発し,スケーラビリティの向上と計算コストの削減を図る。 スパースCT再構成の応用を含む数値実験により,提案手法は従来のフィードフォワードニューラルネットワークや補間手法よりも精度と効率の両面において優れていることを示した。

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