論文の概要: Convergence of graph Dirichlet energies and graph Laplacians on intersecting manifolds of varying dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.24458v1
- Date: Mon, 29 Sep 2025 08:39:45 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-09-30 22:32:19.865719
- Title: Convergence of graph Dirichlet energies and graph Laplacians on intersecting manifolds of varying dimensions
- Title（参考訳）: 異なる次元の交叉多様体上のグラフディリクレエネルギーとグラフラプラシアンの収束
- Authors: Leon Bungert, Dejan Slepčev,
- Abstract要約: 実世界のデータは、しばしば異なる次元の部品またはクラスから構成される。
重要な課題は、どの機械学習手法がそのような様々な次元に適応しているかを理解することである。
我々は、正規化されたディリクレエネルギーが、すべての次元に同時に適応するユニオン上の(拡張された)ディリクレエネルギーに収束することを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7734726150561088
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study $\Gamma$-convergence of graph Dirichlet energies and spectral convergence of graph Laplacians on unions of intersecting manifolds of potentially different dimensions. Our investigation is motivated by problems of machine learning, as real-world data often consist of parts or classes with different intrinsic dimensions. An important challenge is to understand which machine learning methods adapt to such varied dimensionalities. We investigate the standard unnormalized and the normalized graph Dirichlet energies. We show that the unnormalized energy and its associated graph Laplacian asymptotically only sees the variations within the manifold of the highest dimension. On the other hand, we prove that the normalized Dirichlet energy converges to a (tensorized) Dirichlet energy on the union of manifolds that adapts to all dimensions simultaneously. We also establish the related spectral convergence and present a few numerical experiments to illustrate our findings.
- Abstract（参考訳）: グラフのディリクレエネルギーの$\Gamma$-収束とグラフラプラシアンのスペクトル収束を、潜在的に異なる次元の交叉多様体の和集合上で研究する。
実世界のデータは、しばしば固有の次元の異なる部分やクラスから構成される。
重要な課題は、どの機械学習手法がそのような様々な次元に適応しているかを理解することである。
標準非正規化および正規化グラフディリクレエネルギーについて検討する。
非正規化エネルギーとその関連グラフ Laplacian が漸近的に高次元多様体内の変分しか見られないことを示す。
一方、正規化されたディリクレエネルギーは、すべての次元に同時に適応する多様体の和の上の(拡張された)ディリクレエネルギーに収束することを示す。
また、関連するスペクトル収束を確立し、この結果を示す数値実験をいくつか提示する。
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