論文の概要: Monte Carlo-Type Neural Operator for Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.05620v1
• Date: Tue, 07 Oct 2025 07:07:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-08 17:57:08.134029
• Title: Monte Carlo-Type Neural Operator for Differential Equations
• Title（参考訳）: 微分方程式に対するモンテカルロ型ニューラル演算子
• Authors: Salah Eddine Choutri, Prajwal Chauhan, Othmane Mazhar, Saif Eddin Jabari,
• Abstract要約: モンテカルロ型アプローチを用いて偏微分方程式(PDE)の解演算子を学習するためのフレームワークを提案する。 スペクトル表現に依存し、翻訳不変のカーネルを仮定するニューラルネットワーク演算子(FNO)とは異なり、MCNOはそのような仮定をしない。 標準1次元PDEベンチマークの実験では、MCNOは効率的な計算コストで競合精度を達成している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.3614125526046505
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Monte Carlo-type Neural Operator (MCNO) introduces a framework for learning solution operators of one-dimensional partial differential equations (PDEs) by directly learning the kernel function and approximating the associated integral operator using a Monte Carlo-type approach. Unlike Fourier Neural Operators (FNOs), which rely on spectral representations and assume translation-invariant kernels, MCNO makes no such assumptions. The kernel is represented as a learnable tensor over sampled input-output pairs, and sampling is performed once, uniformly at random from a discretized grid. This design enables generalization across multiple grid resolutions without relying on fixed global basis functions or repeated sampling during training, while an interpolation step maps between arbitrary input and output grids to further enhance flexibility. Experiments on standard 1D PDE benchmarks show that MCNO achieves competitive accuracy with efficient computational cost. We also provide a theoretical analysis proving that the Monte Carlo estimator yields a bounded bias and variance under mild regularity assumptions. This result holds in any spatial dimension, suggesting that MCNO may extend naturally beyond one-dimensional problems. More broadly, this work explores how Monte Carlo-type integration can be incorporated into neural operator frameworks for continuous-domain PDEs, providing a theoretically supported alternative to spectral methods (such as FNO) and to graph-based Monte Carlo approaches (such as the Graph Kernel Neural Operator, GNO).
• Abstract（参考訳）: モンテカルロ型ニューラル演算子(MCNO)は、1次元偏微分方程式(PDE)の解演算子を直接学習し、関連する積分作用素をモンテカルロ型アプローチを用いて近似することにより、解演算子を学習する枠組みを導入する。 スペクトル表現に依存し、翻訳不変のカーネルを仮定するフーリエニューラル演算子(FNO)とは異なり、MCNOはそのような仮定をしない。 カーネルはサンプリングされた入出力ペアよりも学習可能なテンソルとして表現され、サンプリングは1回、離散化されたグリッドからランダムに行われる。 この設計は、任意の入力グリッドと出力グリッドの間で補間ステップがマッピングされ、柔軟性がさらに向上する一方で、固定されたグローバル基底関数やトレーニング中の繰り返しサンプリングに頼ることなく、複数のグリッド解像度をまたいだ一般化を可能にする。 標準1次元PDEベンチマークの実験では、MCNOは効率的な計算コストで競合精度を達成している。 また、モンテカルロ推定器が、穏やかな正則性仮定の下で有界バイアスと分散をもたらすことを証明した理論解析も提供する。 この結果は任意の空間次元を保ち、MCNOは1次元問題を超えて自然に拡張される可能性があることを示唆している。 より広範に、この研究は、モンテカルロ型統合を連続ドメインPDEのためのニューラルオペレータフレームワークに組み込む方法を探り、スペクトルメソッド(FNOなど)やグラフベースのモンテカルロアプローチ(グラフカーネルニューラルオペレータ、GNOなど)に理論的にサポートされた代替手段を提供する。

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