論文の概要: A convergent hierarchy of spectral gap certificates for qubit Hamiltonians
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.08427v1
- Date: Thu, 09 Oct 2025 16:42:21 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-10 17:54:15.206293
- Title: A convergent hierarchy of spectral gap certificates for qubit Hamiltonians
- Title（参考訳）: 量子ハミルトニアンのためのスペクトルギャップ証明の収束階層
- Authors: Sujit Rao,
- Abstract要約: 局所量子ハミルトニアンのスペクトルギャップを下から有界化するためのSDP証明書の階層を与える。
得られた証明書は一定度の大きさであり、収束する(実際、レベル$n$)ことを証明します。
また、可換な 1-局所ハミルトニアンに対して、階層はスペクトルギャップ上の非下界を証明していることを示す例を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: We give a convergent hierarchy of SDP certificates for bounding the spectral gap of local qubit Hamiltonians from below. Our approach is based on the NPA hierarchy applied to a polynomially-sized system of constraints defining the universal enveloping algebra of the Lie algebra $\mathfrak{su}(2^{n})$, as well as additional constraints which put restrictions on the corresponding representations of the algebra. We also use as input an upper bound on the ground state energy, either using a hierarchy introduced by Fawzi, Fawzi, and Scalet, or an analog for qubit Hamiltonians of the Lasserre hierarchy of upper bounds introduced by Klep, Magron, Mass\'{e}, and Vol\v{c}i\v{c}. The convergence of the certificates does not require that the Hamiltonian be frustration-free. We prove that the resulting certificates have polynomial size at fixed degree and converge asymptotically (in fact, at level $n$), by showing that all allowed representations of the algebra correspond to the second exterior power $\wedge^2(\mathbb{C}^{2^n})$, which encodes the sum of the two smallest eigenvalues of the original Hamiltonian. We also give an example showing that for a commuting 1-local Hamiltonian, the hierarchy certifies a nontrivial lower bound on the spectral gap.
- Abstract（参考訳）: 局所量子ハミルトニアンのスペクトルギャップを下から有界化するためのSDP証明書の収束階層を与える。
我々のアプローチは、リー代数 $\mathfrak{su}(2^{n})$ の普遍包絡代数を定義する多項式サイズの制約体系に適用される NPA階層と、代数の対応する表現に制約を与える追加の制約に基づいている。
また、Fawzi, Fawzi, Scalet が導入した階層や、Klep, Magron, Mass\'{e} と Vol\v{c}i\v{c} が導入した上界のラッサール階層の準ハミルトニアンのアナログを用いて基底状態エネルギー上の上界を入力する。
証明の収束はハミルトン級数にフラストレーションのないものを必要としない。
得られた証明は多項式サイズが一定で、漸近的に収束する(実際、レベル$n$)ことを証明し、代数のすべての許容表現が元のハミルトンの2つの最小固有値の和をエンコードする第二の外部パワー $\wedge^2(\mathbb{C}^{2^n})$ に対応することを示す。
また、可換な 1-局所ハミルトニアンに対して、階層はスペクトルギャップ上の非自明な下界を証明していることを示す例を示す。
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