論文の概要: Average-case Speedup for Product Formulas

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.05324v2
• Date: Sun, 2 Apr 2023 23:23:21 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-05 01:53:09.947666
• Title: Average-case Speedup for Product Formulas
• Title（参考訳）: 製品式の平均ケーススピードアップ
• Authors: Chi-Fang (Anthony) Chen and Fernando G.S.L. Brand\~ao
• Abstract要約: 製品公式(英: Product formulas)またはトロッター化(英: Trotterization)は、量子系をシミュレートする最も古い方法であり、いまだに魅力的な方法である。 我々は、ほとんどの入力状態に対して、トロッター誤差が定性的に優れたスケーリングを示すことを証明した。 我々の結果は、平均的なケースにおける量子アルゴリズムの研究の扉を開く。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 69.68937033275746
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Quantum simulation is a promising application of future quantum computers. Product formulas, or Trotterization, are the oldest and still remain an appealing method to simulate quantum systems. For an accurate product formula approximation, the state-of-the-art gate complexity depends on the number of terms in the Hamiltonian and a local energy estimate. In this work, we give evidence that product formulas, in practice, may work much better than expected. We prove that the Trotter error exhibits a qualitatively better scaling for the vast majority of input states, while the existing estimate is for the worst states. For general $k$-local Hamiltonians and higher-order product formulas, we obtain gate count estimates for input states drawn from any orthogonal basis. The gate complexity significantly improves over the worst case for systems with large connectivity. Our typical-case results generalize to Hamiltonians with Fermionic terms, with input states drawn from a fixed-particle number subspace, and with Gaussian coefficients (e.g., the SYK models). Technically, we employ a family of simple but versatile inequalities from non-commutative martingales called $\textit{uniform smoothness}$, which leads to $\textit{Hypercontractivity}$, namely $p$-norm estimates for $k$-local operators. This delivers concentration bounds via Markov's inequality. For optimality, we give analytic and numerical examples that simultaneously match our typical-case estimates and the existing worst-case estimates. Therefore, our improvement is due to asking a qualitatively different question, and our results open doors to the study of quantum algorithms in the average case.
• Abstract（参考訳）: 量子シミュレーションは将来の量子コンピュータの有望な応用である。 製品公式(英: Product formulas, Trotterization)は、量子系をシミュレートする最も古い方法であり、いまだに魅力的な方法である。 正確な積公式近似では、最先端ゲートの複雑性はハミルトン項の項数と局所エネルギー推定に依存する。 この研究では、製品の公式が実際、予想よりもずっとうまく機能するかもしれないという証拠を与えます。 トロッター誤差は入力状態の大部分に対して定性的に優れたスケーリングを示し,既存の推定値が最悪の状態であることを示す。 一般のk$局所ハミルトニアンおよび高階積公式に対しては、任意の直交基底から引き出された入力状態のゲートカウント推定を得る。 ゲートの複雑さは、接続性が大きいシステムにとって最悪の場合よりも大幅に改善される。 我々の典型的な場合の結果はフェルミオン項を持つハミルトニアンに一般化され、入力状態は固定粒子数部分空間から、ガウス係数(例えばsykモデル)から引き出される。 技術的には、$\textit{uniform smoothness}$と呼ばれる、非可換なmartingalesからの単純だが多彩な不等式の集合を、$\textit{hypercontractivity}$、すなわち$k$-local演算子の$p$-norm推定に採用する。 これはマルコフの不等式を通じて濃度境界をもたらす。 最適性については、典型例推定と既存の最悪の例推定とを同時に一致させる解析的および数値的な例を挙げる。 したがって、我々の改善は質的に異なる質問をすることであり、その結果は平均的なケースにおける量子アルゴリズムの研究への扉を開くことになる。

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