論文の概要: From Universal Approximation Theorem to Tropical Geometry of Multi-Layer Perceptrons

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.15012v1
• Date: Thu, 16 Oct 2025 13:15:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-20 20:17:34.319426
• Title: From Universal Approximation Theorem to Tropical Geometry of Multi-Layer Perceptrons
• Title（参考訳）: 普遍近似理論から多層パーセプトロンの熱帯幾何学へ
• Authors: Yi-Shan Chu, Yueh-Cheng Kuo,
• Abstract要約: 我々は、ニューラルネットワークの熱帯幾何学のレンズを通して、ユニバーサル近似理論を再考する。 本稿では,シグモダル多層パーセプトロンのための構造的・幾何学的アーキテクチャを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We revisit the Universal Approximation Theorem(UAT) through the lens of the tropical geometry of neural networks and introduce a constructive, geometry-aware initialization for sigmoidal multi-layer perceptrons (MLPs). Tropical geometry shows that Rectified Linear Unit (ReLU) networks admit decision functions with a combinatorial structure often described as a tropical rational, namely a difference of tropical polynomials. Focusing on planar binary classification, we design purely sigmoidal MLPs that adhere to the finite-sum format of UAT: a finite linear combination of shifted and scaled sigmoids of affine functions. The resulting models yield decision boundaries that already align with prescribed shapes at initialization and can be refined by standard training if desired. This provides a practical bridge between the tropical perspective and smooth MLPs, enabling interpretable, shape-driven initialization without resorting to ReLU architectures. We focus on the construction and empirical demonstrations in two dimensions; theoretical analysis and higher-dimensional extensions are left for future work.
• Abstract（参考訳）: 我々は、ニューラルネットワークの熱帯幾何学のレンズを通して、ユニバーサル近似定理(UAT)を再検討し、シグモダル多層パーセプトロン(MLP)に対する構成的、幾何学的初期化を導入する。 熱帯幾何学は、Rectified Linear Unit (ReLU) ネットワークが、しばしば熱帯の有理数、すなわち熱帯の多項式の差として記述される組合せ構造を持つ決定関数を許容していることを示している。 平面二分法に焦点をあて, シフトしたアフィン関数のシグモイドとスケールしたシグモイドの有限線型結合である, UAT の有限サム形式に忠実な純粋シグモイド型 MLP を設計する。 得られたモデルは、初期化時に既に所定の形状に整合しており、望めば標準的な訓練によって洗練される決定境界を与える。 これにより、熱帯の視点と滑らかなMLPの間に実践的な橋渡しができ、ReLUアーキテクチャを使わずに解釈可能な形状駆動初期化が可能となる。 理論的解析と高次元拡張は今後の研究のために残されている。

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