論文の概要: Partitioning $\mathbb{Z}_{sp}$ in finite fields and groups of trees and cycles

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.15108v1
• Date: Thu, 16 Oct 2025 19:59:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-20 20:17:34.375672
• Title: Partitioning $\mathbb{Z}_{sp}$ in finite fields and groups of trees and cycles
• Title（参考訳）: 有限体および木とサイクルの群における$\mathbb{Z}_{sp}$の分割
• Authors: Nikolaos Verykios, Christos Gogos,
• Abstract要約: 我々は、$mathbbZ_sp$ の前周期構造を記述するために、弧と根木の概念を導入する。 我々は、$mathbbZ_sp$ のすべてのサイクルが、有限体 $pmathbbF_s$ と $smathbbF_p$ のサイクルから予測可能な内部サイクルを含むことを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.30938904602244355
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper investigates the algebraic and graphical structure of the ring $\mathbb{Z}_{sp}$, with a focus on its decomposition into finite fields, kernels, and special subsets. We establish classical isomorphisms between $\mathbb{F}_s$ and $p\mathbb{F}_s$, as well as $p\mathbb{F}_s^{\star}$ and $p\mathbb{F}_s^{+1,\star}$. We introduce the notion of arcs and rooted trees to describe the pre-periodic structure of $\mathbb{Z}_{sp}$, and prove that trees rooted at elements not divisible by $s$ or $p$ can be generated from the tree of unity via multiplication by cyclic arcs. Furthermore, we define and analyze the set $\mathbb{D}_{sp}$, consisting of elements that are neither multiples of $s$ or $p$ nor "off-by-one" elements, and show that its graph decomposes into cycles and pre-periodic trees. Finally, we demonstrate that every cycle in $\mathbb{Z}_{sp}$ contains inner cycles that are derived predictably from the cycles of the finite fields $p\mathbb{F}_s$ and $s\mathbb{F}_p$, and we discuss the cryptographic relevance of $\mathbb{D}_{sp}$, highlighting its potential for analyzing cyclic attacks and factorization methods.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、環 $\mathbb{Z}_{sp}$ の代数的およびグラフィカルな構造を、有限体、カーネル、特殊部分集合への分解に焦点をあてる。 我々は $\mathbb{F}_s$ と $p\mathbb{F}_s$ の古典的同型と $p\mathbb{F}_s^{\star}$ と $p\mathbb{F}_s^{+1,\star}$ を確立する。 円弧と根木の概念を導入して、$\mathbb{Z}_{sp}$ の前周期構造を記述するとともに、円弧による乗法によって単位木から$s$または$p$で割り切れない元に根付いた木が生成されることを証明する。 さらに、$s$ あるいは $p$ の多重でない元と "off-by-one" の要素からなる集合 $\mathbb{D}_{sp}$ を定義し、解析し、そのグラフが周期木と周期木に分解されることを示す。 最後に、$\mathbb{Z}_{sp}$ のすべてのサイクルは、有限体 $p\mathbb{F}_s$ と $s\mathbb{F}_p$ のサイクルから予測可能な内部サイクルを含むことを示した。

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