論文の概要: Algebraic Obstructions and the Collapse of Elementary Structure in the Kronecker Problem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.22856v2
- Date: Tue, 02 Dec 2025 06:36:35 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-12-03 14:50:32.06286
- Title: Algebraic Obstructions and the Collapse of Elementary Structure in the Kronecker Problem
- Title（参考訳）: クロネッカー問題における代数的障害と基本構造の崩壊
- Abstract要約: マーナハンの基礎研究から87年間、真に3列のケースに対して明確な閉形式の公式は得られていない。
階段-フック係数の明示的な公式を5つ導き、サクセル予想を132個の三列分割で検証する。
連続閉塞と離散積分性の間の張力を利用した証明手法である整数強制法を開発した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: While Kronecker coefficients $g(λ,μ,ν)$ with bounded rows are polynomial-time computable via lattice-point methods, no explicit closed-form formulas have been obtained for genuinely three-row cases in the 87 years since Murnaghan's foundational work. This paper provides such formulas for the first time and identifies a universal structural boundary at parameter value 5 where elementary combinatorial patterns collapse. We analyze two independent families of genuinely three-row coefficients and establish that for $k \leq 4$, the formulas exhibit elementary structure: oscillation bounds follow the triangular-Hogben pattern, and polynomial expressions factor completely over $\mathbb{Z}$. At the critical threshold $k=5$, this structure collapses: the triangular pattern fails, and algebraic obstructions -- irreducible quadratic factors with negative discriminant -- emerge. We develop integer forcing, a proof technique exploiting the tension between continuous asymptotics and discrete integrality. As concrete results, we prove that $g((n,n,1)^3) = 2 - (n \mod 2)$ for all $n \geq 3$ -- the first explicit formula for a genuinely three-row Kronecker coefficient -- derive five explicit polynomial formulas for staircase-hook coefficients, and verify Saxl's conjecture for 132 three-row partitions.
- Abstract（参考訳）: 境界行を持つクロネッカー係数 $g(λ,μ,ν)$ は格子点法による多項式時間計算可能であるが、ムルナハンの基礎研究から87年間、真に3つのローケースに対して明示的な閉形式公式は得られていない。
本稿では,基本組合せパターンが崩壊するパラメータ値5において,そのような公式を初めて提示し,普遍的な構造境界を同定する。
真に3列係数の2つの独立族を解析し、$k \leq 4$の場合、振動境界は三角形ホグベンパターンに従い、多項式式は$\mathbb{Z}$以上である。
臨界しきい値$k=5$では、この構造は崩壊し、三角形のパターンが失敗し、代数的障害物(負の判別を持つ既約の二次因子)が出現する。
連続的漸近性と離散積分性の間の張力を利用した証明手法である整数強制法を開発した。
具体的な結果として、$g((n,n,1)^3) = 2 - (n \mod 2)$ for all $n \geq 3$ -- 真に3列のクローネッカー係数の最初の明示的な公式は、階段-フック係数の5つの明示的な多項式公式を導出し、サクセルの予想を132個の3列の分割で検証する。
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