論文の概要: Small-Gain Nash: Certified Contraction to Nash Equilibria in Differentiable Games

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.06791v1
• Date: Sun, 07 Dec 2025 11:11:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-09 22:03:54.53093
• Title: Small-Gain Nash: Certified Contraction to Nash Equilibria in Differentiable Games
• Title（参考訳）: スモールゲインナッシュ:差別ゲームにおけるナッシュ均衡の認定契約
• Abstract要約: 我々は,ブロック重み付き幾何学において,ブロック小利得条件であるスモールゲインナッシュ(SGN)を導入する。 SGNは局所曲率とクロスプレイヤのリプシッツ結合境界をトラクタブルな収縮証明書に変換する。 ユークリッドの単調性解析が収束の予測に失敗する二次ゲーム上で、この枠組みを検証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Classical convergence guarantees for gradient-based learning in games require the pseudo-gradient to be (strongly) monotone in Euclidean geometry as shown by rosen(1965), a condition that often fails even in simple games with strong cross-player couplings. We introduce Small-Gain Nash (SGN), a block small-gain condition in a custom block-weighted geometry. SGN converts local curvature and cross-player Lipschitz coupling bounds into a tractable certificate of contraction. It constructs a weighted block metric in which the pseudo-gradient becomes strongly monotone on any region where these bounds hold, even when it is non-monotone in the Euclidean sense. The continuous flow is exponentially contracting in this designed geometry, and projected Euler and RK4 discretizations converge under explicit step-size bounds derived from the SGN margin and a local Lipschitz constant. Our analysis reveals a certified ``timescale band'', a non-asymptotic, metric-based certificate that plays a TTUR-like role: rather than forcing asymptotic timescale separation via vanishing, unequal step sizes, SGN identifies a finite band of relative metric weights for which a single-step-size dynamics is provably contractive. We validate the framework on quadratic games where Euclidean monotonicity analysis fails to predict convergence, but SGN successfully certifies it, and extend the construction to mirror/Fisher geometries for entropy-regularized policy gradient in Markov games. The result is an offline certification pipeline that estimates curvature, coupling, and Lipschitz parameters on compact regions, optimizes block weights to enlarge the SGN margin, and returns a structural, computable convergence certificate consisting of a metric, contraction rate, and safe step-sizes for non-monotone games.
• Abstract（参考訳）: ゲームにおける勾配に基づく学習の古典的な収束保証は、強いクロスプレイヤーカップリングを持つ単純なゲームでもしばしば失敗する条件であるローゼン(1965)で示されるように、ユークリッド幾何学において(強く)単調であることを要求する。 我々は,ブロック重み付き幾何学において,ブロック小利得条件であるスモールゲインナッシュ(SGN)を導入する。 SGNは局所曲率とクロスプレイヤのリプシッツ結合境界をトラクタブルな収縮証明書に変換する。 ユークリッドの意味では非単調である場合でも、これらの境界が保持する任意の領域において擬階数が強い単調となる重み付きブロック計量を構成する。 連続フローは、この設計された幾何学において指数関数的に収縮しており、ユーラーとRK4の離散化は、SGNマージンと局所リプシッツ定数から導かれる明示的なステップサイズ境界の下で収束する。 我々の分析では,TTURのような役割を果たす非漸近的・計量的証明である 'timescale band'' が明らかにされている。 ユークリッドの単調性解析が収束を予測できない二次ゲーム上で、SGNはそれを証明し、マルコフゲームにおけるエントロピー規則化ポリシー勾配に対するミラー/フィッシャー幾何学へ拡張する。 結果は、コンパクトな領域における曲率、カップリング、リプシッツパラメータを推定し、ブロックウェイトを最適化してSGNマージンを拡大し、非モノトーンゲームに対するメートル法、収縮率、安全なステップサイズからなる構造的、計算可能な収束証明書を返却するオフライン認証パイプラインである。

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