論文の概要: On the continuity of flows

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.12821v1
• Date: Sun, 14 Dec 2025 20:00:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-16 17:54:56.457734
• Title: On the continuity of flows
• Title（参考訳）: 流れの連続性について
• Authors: Congzhou M Sha,
• Abstract要約: 本研究では, 流れマッチング対象の最適速度場が空間的不連続性を示すことを示す。 この不連続性は、連続フローが単一モードを複数のモードにマップするために分岐しなければならないという要求から生じる。 解析の結果,この現象は損失$L2$ではなく,分布間の位相的ミスマッチの結果である可能性が示唆された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.10152838128195464
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Flow matching has emerged as a powerful framework for generative modeling through continuous normalizing flows. We investigate a potential topological constraint: when the prior distribution and target distribution have mismatched topology (e.g., unimodal to multimodal), the optimal velocity field under standard flow matching objectives may exhibit spatial discontinuities. We suggest that this discontinuity arises from the requirement that continuous flows must bifurcate to map a single mode to multiple modes, forcing particles to make discrete routing decisions at intermediate times. Through theoretical analysis on bimodal Gaussian mixtures, we demonstrate that the optimal velocity field exhibits jump discontinuities along decision boundaries, with magnitude approaching infinity as time approaches the target distribution. Our analysis suggests that this phenomenon is not specific to $L^2$ loss, but rather may be a consequence of topological mismatch between distributions. We validate our theory empirically and discuss potential implications for flow matching on manifolds, connecting our findings to recent work on Riemannian flow matching and the challenge of learning discontinuous representations in neural networks.
• Abstract（参考訳）: フローマッチングは、連続正規化フローによる生成モデリングの強力なフレームワークとして登場した。 従来の分布と対象分布が不一致なトポロジ(例えば、非モーダルからマルチモーダル)を持つ場合、標準流れマッチング対象の最適速度場は空間的不連続性を示す可能性がある。 この不連続性は、連続フローが単一モードを複数のモードにマッピングするために分岐し、中間時間に離散的なルーティング決定を粒子に強制する必要があるという要求から生じることを示唆する。 二モーダルガウス混合の理論解析により、最適速度場が決定境界に沿ってジャンプ不連続性を示し、時間が目標分布に近づくにつれて無限大が近づくことを示した。 解析の結果, この現象は損失$L^2$ではなく, 分布間の位相的ミスマッチの結果である可能性が示唆された。 我々は,この理論を実証的に検証し,多様体上のフローマッチングの可能性について考察し,リーマン流マッチングに関する最近の研究とニューラルネットワークにおける不連続表現の学習の課題とを結びつける。

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