論文の概要: Regularized Random Fourier Features and Finite Element Reconstruction for Operator Learning in Sobolev Space

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.17884v1
• Date: Fri, 19 Dec 2025 18:36:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-22 19:25:54.530662
• Title: Regularized Random Fourier Features and Finite Element Reconstruction for Operator Learning in Sobolev Space
• Title（参考訳）: ソボレフ空間における演算子学習のための正規化ランダムフーリエ特徴と有限要素再構成
• Authors: Xinyue Yu, Hayden Schaeffer,
• Abstract要約: カーネルベースの演算子学習は、標準的な方法よりも少ないトレーニングを必要とする正確で理論上正当化された近似を提供することができる。 有限要素再構成マップ(RRFF-FEM)と組み合わせた正規化ランダムフーリエ特徴量(RRFF)手法を提案する。 RRFF と RRFF-FEM は雑音に対して頑健であり,非正規化ランダム特徴モデルと比較してトレーニング時間を短縮し,性能の向上を図っている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7734726150561088
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Operator learning is a data-driven approximation of mappings between infinite-dimensional function spaces, such as the solution operators of partial differential equations. Kernel-based operator learning can offer accurate, theoretically justified approximations that require less training than standard methods. However, they can become computationally prohibitive for large training sets and can be sensitive to noise. We propose a regularized random Fourier feature (RRFF) approach, coupled with a finite element reconstruction map (RRFF-FEM), for learning operators from noisy data. The method uses random features drawn from multivariate Student's $t$ distributions, together with frequency-weighted Tikhonov regularization that suppresses high-frequency noise. We establish high-probability bounds on the extreme singular values of the associated random feature matrix and show that when the number of features $N$ scales like $m \log m$ with the number of training samples $m$, the system is well-conditioned, which yields estimation and generalization guarantees. Detailed numerical experiments on benchmark PDE problems, including advection, Burgers', Darcy flow, Helmholtz, Navier-Stokes, and structural mechanics, demonstrate that RRFF and RRFF-FEM are robust to noise and achieve improved performance with reduced training time compared to the unregularized random feature model, while maintaining competitive accuracy relative to kernel and neural operator tests.
• Abstract（参考訳）: 演算子学習(Operator learning)は、偏微分方程式の解作用素のような無限次元函数空間間の写像のデータ駆動近似である。 カーネルベースの演算子学習は、標準的な方法よりも少ないトレーニングを必要とする正確で理論上正当化された近似を提供することができる。 しかし、大きなトレーニングセットでは計算が禁止され、ノイズに敏感になる可能性がある。 雑音データから演算子を学習するための有限要素再構成マップ (RRFF-FEM) と組み合わせた正規化ランダムフーリエ特徴 (RRFF) 手法を提案する。 この方法は、多変量学生の$t$分布から引き出されたランダムな特徴と、高周波ノイズを抑制する周波数重み付きTikhonov正規化を用いる。 我々は、関連するランダム特徴行列の極端特異値上の高確率境界を確立し、$N$が$m \log m$のようなスケールでトレーニングサンプルの数が$m$である場合、システムは十分に条件付きであり、推定と一般化の保証が得られることを示す。 アドベクション、バーガース、ダーシーフロー、ヘルムホルツ、ナヴィアー・ストークス、構造力学などのベンチマークPDE問題に関する詳細な数値実験では、RRFFとRRFF-FEMはノイズに対して頑健であり、非正規化されたランダムな特徴モデルと比較してトレーニング時間を短縮し、カーネルやニューラル演算子テストと競合する精度を維持しながら、性能を向上させることが示されている。

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