論文の概要: Fractional $k$-positivity: a continuous refinement of the $k$-positive scale
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.12729v1
- Date: Fri, 13 Feb 2026 08:57:22 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-02-16 23:37:53.897645
- Title: Fractional $k$-positivity: a continuous refinement of the $k$-positive scale
- Title（参考訳）: Fractional $k$-positivity: a continuous refinement of the $k$- positive scale
- Authors: Mohsen Kian,
- Abstract要約: 我々は、行列代数間の写像に対して、シュミット数、ブロック陽性、および$k$-正の根底にある古典的整数階層の実パラメータ改善を導入する。
例えば、$$-super positive map は、クラス分解を許容する完全正の写像である。
非整数$$$に対して、$mathsf P_$はCPポストコンポジションの下でフェール安定性を保ち、整数論から急激な構造的遷移を浮き彫りにする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a real-parameter refinement of the classical integer hierarchies underlying Schmidt number, block-positivity, and $k$-positivity for maps between matrix algebras. Starting from a compact family of $α$-admissible unit vectors ($α\in[1,d]$), we define closed cones $\mathsf K_α$ of bipartite positive operators that interpolate strictly between successive Schmidt-number cones, together with their dual witness cones. Via the Choi--Jamiołkowski correspondence this yields a matching filtration of map cones $\mathsf P_α$, recovering the usual $k$-positive/$k$-superpositive classes at integer parameters and complete positivity at the top endpoint. Two results show that the fractional levels capture genuinely new structure. First, we prove a \emph{fractional Kraus theorem}: $α$-superpositive maps are precisely the completely positive maps admitting a Kraus decomposition whose Kraus operators satisfy an explicit singular-value (Ky--Fan) constraint, extending the classical rank-$k$ characterization. Second, for non-integer $α$ the cones $\mathsf P_α$ fail stability under CP post-composition, highlighting a sharp structural transition away from the integer theory. Finally, we derive sharp thresholds on canonical symmetric families (including the depolarizing ray and the isotropic slice), turning familiar stepwise criteria into continuous, computable profiles.
- Abstract（参考訳）: 我々は、行列代数間の写像に対して、シュミット数、ブロック陽性、および$k$-正の根底にある古典的整数階層の実パラメータ改善を導入する。
コンパクトな$α$-許容単位ベクトル群 (α\in[1,d]$) から始めて、連続するシュミット数の円錐とそれらの双証円錐を厳密に交叉する二部正作用素の閉じた円錐 $\mathsf K_α$ を定義する。
Choi-Jamiołkowski の対応により、対応する写像のフィルター $\mathsf P_α$ が得られ、整数パラメータの通常の $k$- positive/$k$-super positive クラスが復元され、トップエンドポイントにおける完全正のクラスが復元される。
2つの結果は、分数レベルが真に新しい構造を捉えていることを示している。
まず、 \emph{fractional Kraus theorem} を証明する:$α$-super positive map は、クラウス作用素が明示的な特異値(Ky-Fan)制約を満たすクラス分解を許す完全正の写像であり、古典的な階数-$k$特徴づけを拡張する。
第二に、非整数 $α$ の円錐 $\mathsf P_α$ は CP のポストコンポジションの下でのフェール安定であり、整数論から急激な構造的遷移を浮き彫りにする。
最後に、正準対称族(脱分極線や等方スライスを含む)の鋭い閾値を導出し、慣れ親しんだ基準を連続的に計算可能なプロファイルに変換する。
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