論文の概要: From the Choi Formalism in Infinite Dimensions to Unique Decompositions of Generators of Completely Positive Dynamical Semigroups
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.14344v4
- Date: Wed, 21 Aug 2024 13:52:41 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-22 22:54:42.318576
- Title: From the Choi Formalism in Infinite Dimensions to Unique Decompositions of Generators of Completely Positive Dynamical Semigroups
- Title（参考訳）: 無限次元のChoi形式主義から完全正の動的半群の生成元の一意分解へ
- Authors: Frederik vom Ende,
- Abstract要約: 我々は、任意のヒルベルト空間に一意な有界作用素 $K$ と一意に正の写像 $Phi$ が存在することを証明している。
特に、上述のヒルベルト空間が無限次元となるとすぐに、チェイ形式の下で空の事前像を持つ正半定値作用素の例が見つかる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Given any separable complex Hilbert space, any trace-class operator $B$ which does not have purely imaginary trace, and any generator $L$ of a norm-continuous one-parameter semigroup of completely positive maps we prove that there exists a unique bounded operator $K$ and a unique completely positive map $\Phi$ such that (i) $L=K(\cdot)+(\cdot)K^*+\Phi$, (ii) the superoperator $\Phi(B^*(\cdot)B)$ is trace class and has vanishing trace, and (iii) ${\rm tr}(B^*K)$ is a real number. Central to our proof is a modified version of the Choi formalism which relates completely positive maps to positive semi-definite operators. We characterize when this correspondence is injective and surjective, respectively, which in turn explains why the proof idea of our main result cannot extend to non-separable Hilbert spaces. In particular, we find examples of positive semi-definite operators which have empty pre-image under the Choi formalism as soon as the underlying Hilbert space is infinite-dimensional.
- Abstract（参考訳）: 任意の可分複素ヒルベルト空間が与えられたとき、純粋に虚トレースを持たないトレースクラス作用素$B$と、全正写像のノルム連続一パラメータ半群の任意の生成元$L$は、一意有界作用素$K$と一意完全正写像$Phi$が存在することを証明する。
(i)$L=K(\cdot)+(\cdot)K^*+\Phi$,
(ii) Superoperator $\Phi(B^*(\cdot)B)$はトレースクラスであり、トレースが消滅する。
(iii)${\rm tr}(B^*K)$は実数である。
私たちの証明の中心は、正の半定値作用素に完全正の写像を関連付けるチェ形式論の修正版である。
この対応がそれぞれ単射かつ全射であるときの特徴付けを行い、その結果、主結果の証明アイデアが非分離ヒルベルト空間に拡張できない理由を説明する。
特に、上述のヒルベルト空間が無限次元となるとすぐに、チェイ形式の下で空の事前像を持つ正半定値作用素の例が見つかる。
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