論文の概要: Stronger Welch Bounds and Optimal Approximate $k$-Designs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.13099v1
• Date: Fri, 13 Feb 2026 17:05:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-16 23:37:54.047457
• Title: Stronger Welch Bounds and Optimal Approximate $k$-Designs
• Title（参考訳）: より強いウェルチ境界と最適近似$k$-Designs
• Authors: Riccardo Castellano, Dmitry Grinko, Sadra Boreiri, Nicolas Brunner, Jef Pauwels,
• Abstract要約: 基本的な質問は、純粋な量子状態の均一に有限な集合がヒルベルト空間内でどのように分散できるかを問うものである。 ウェルチ境界はこの問題に対処し、$k$-designs、すなわち$k$-th Haar モーメントを再現する状態の集合によって飽和する。 我々は、部分転位と部分転位したハールモーメント作用素のスペクトル特性から階数制約を利用して、この状態において鋭いウェルチ型不等式を導出した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.13048920509133805
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A fundamental question asks how uniformly finite sets of pure quantum states can be distributed in a Hilbert space. The Welch bounds address this question, and are saturated by $k$-designs, i.e. sets of states reproducing the $k$-th Haar moments. However, these bounds quickly become uninformative when the number of states is below that required for an exact $k$-design. We derive strengthened Welch-type inequalities that remain sharp in this regime by exploiting rank constraints from partial transposition and spectral properties of the partially transposed Haar moment operator. We prove that the deviation from the Welch bound captures the average-case approximation error, hence characterizing a natural notion of minimum achievable error at fixed cardinality. For $k=3$, we prove that SICs and complete MUB sets saturate our bounds, making them optimal approximate 3-designs of their cardinality. This leads a natural variational criterion to rule out the existence of a complete set MUBs, which we use to obtain numerical evidence against such set in dimension $6$. As a key technical ingredient, we compute the complete spectrum of the partially transposed symmetric-subspace projector, including multiplicities and eigenvectors, which may find applications beyond the present work.
• Abstract（参考訳）: 基本的な質問は、純粋な量子状態の均一に有限な集合がヒルベルト空間内でどのように分散できるかを問うものである。 ウェルチ境界はこの問題に対処し、$k$-designs、すなわち$k$-th Haar モーメントを再現する状態の集合によって飽和する。 しかし、これらの境界は、正確な$k$-designに必要な状態の数が下がれば、すぐに非形式的になる。 我々は、部分転位と部分転位したハールモーメント作用素のスペクトル特性から階数制約を利用して、この状態において鋭いウェルチ型不等式を導出した。 ウェルチ境界からの偏差は平均ケース近似誤差を捕捉し、したがって一定濃度での到達可能な最小誤差の自然な概念を特徴づける。 k=3$ の場合、SIC と完全 MUB 集合が我々の境界を飽和させ、それらの濃度を最適に近似した3つの設計となることを証明する。 これは自然変分基準を導いて完備集合 MUB の存在を除外し、そのような集合に対して 6$ の次元で数値的な証拠を得る。 重要な技術的要素として、多重度や固有ベクトルを含む部分変換された対称部分空間プロジェクターの完全スペクトルを計算し、この研究を超える応用を見出すことができる。

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