論文の概要: The Finite Primitive Basis Theorem for Computational Imaging: Formal Foundations of the OperatorGraph Representation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.20550v1
- Date: Tue, 24 Feb 2026 05:07:06 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-02-25 17:34:53.610716
- Title: The Finite Primitive Basis Theorem for Computational Imaging: Formal Foundations of the OperatorGraph Representation
- Title（参考訳）: コンピュータイメージングのための有限原始基底理論:演算子グラフ表現の形式的基礎
- Authors: Chengshuai Yang,
- Abstract要約: 我々は、広義、正確に定義された作用素クラス Cimg におけるすべてのフォワードモデルが、型付き有向非巡回グラフ(DAG)としてエプシロン近似表現を認めることを証明した。
我々は、Cimgの任意のHが与えられたとき、ほとんどのエプシロンにおける相対演算子誤差と所定境界内のグラフ複雑性を持つDAG Gを生成するアルゴリズムを提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7259824817932294
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Computational imaging forward models, from coded aperture spectral cameras to MRI scanners, are traditionally implemented as monolithic, modality-specific codes. We prove that every forward model in a broad, precisely defined operator class Cimg (encompassing clinical, scientific, and industrial imaging modalities, both linear and nonlinear) admits an epsilon-approximate representation as a typed directed acyclic graph (DAG) whose nodes are drawn from a library of exactly 11 canonical primitives: Propagate, Modulate, Project, Encode, Convolve, Accumulate, Detect, Sample, Disperse, Scatter, and Transform. We call this the Finite Primitive Basis Theorem. The proof is constructive: we provide an algorithm that, given any H in Cimg, produces a DAG G with relative operator error at most epsilon and graph complexity within prescribed bounds. We further prove that the library is minimal: removing any single primitive causes at least one modality to lose its epsilon-approximate representation. A systematic analysis of nonlinearities in imaging physics shows they fall into two structural categories: pointwise scalar functions (handled by Transform) and self-consistent iterations (unrolled into existing linear primitives). Empirical validation on 31 linear modalities confirms eimg below 0.01 with at most 5 nodes and depth 5, and we provide constructive DAG decompositions for 9 additional nonlinear modalities. These results establish mathematical foundations for the Physics World Model (PWM) framework.
- Abstract（参考訳）: 符号化開口スペクトルカメラからMRIスキャナーまで、計算画像転送モデルは、伝統的にモノリシックでモダリティ固有のコードとして実装されている。
広義、正確に定義されたオペレータークラス Cimg のすべてのフォワードモデル(臨床、科学的、産業画像のモダリティを、線形および非線形の両方に導入する)は、Epsilon-approximate表現を、正確に11の標準プリミティブ(Propagate, Modulate, Project, Encode, Convolve, Accumulate, Detect, Sample, Disperse, Scatter, Transform)のライブラリから抽出されたタイプ付き非巡回グラフ(DAG)として認めている。
これを有限原始基底定理(finite Primitive Basis Theorem)と呼ぶ。
証明は構成的であり、Cimg の任意の H が与えられたとき、ほとんどのエプシロンにおいて相対作用素誤差の DAG G を生成するアルゴリズムを提供する。
さらに、ライブラリは最小限であることが証明されている: 単一のプリミティブを削除すれば、少なくとも1つのモダリティがエプシロン近似表現を失う。
画像物理学における非線形性の体系的な解析により、それらは2つの構造圏に分類できる: ポイントワイズスカラー関数(変換によってハンドリングされる)と自己整合反復(既存の線形プリミティブにアンロールされる)である。
31の線形モジュラリティに対する実証的な検証により、少なくとも5つのノードと深さ5を持つ0.01未満のeimgが確認され、さらに9つの非線形モジュラリティに対して構成的なDAG分解が提供される。
これらの結果は物理世界モデル(PWM)フレームワークの数学的基盤を確立する。
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