Fugu-MT 論文翻訳(概要): One Operator to Rule Them All? On Boundary-Indexed Operator Families in Neural PDE Solvers

論文の概要: One Operator to Rule Them All? On Boundary-Indexed Operator Families in Neural PDE Solvers

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.01406v1
Date: Mon, 02 Mar 2026 03:15:00 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-03-03 19:50:56.663841
Title: One Operator to Rule Them All? On Boundary-Indexed Operator Families in Neural PDE Solvers
Title（参考訳）: 1人のオペレーターが全てをルールする? ニューラルネットワークPDEにおける境界付き演算子ファミリについて
Authors: Lennon J. Shikhman,
Abstract要約: 標準的なニューラル演算子トレーニングは、単一の境界に依存しない演算子ではなく、境界付き演算子の族を暗黙的に学習することを示す。我々は、境界条件に対する条件付きリスク最小化として演算子学習をフレーミングすることで、この視点を定式化する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Neural PDE solvers are often described as learning solution operators that map problem data to PDE solutions. In this work, we argue that this interpretation is generally incorrect when boundary conditions vary. We show that standard neural operator training implicitly learns a boundary-indexed family of operators, rather than a single boundary-agnostic operator, with the learned mapping fundamentally conditioned on the boundary-condition distribution seen during training. We formalize this perspective by framing operator learning as conditional risk minimization over boundary conditions, which leads to a non-identifiability result outside the support of the training boundary distribution. As a consequence, generalization in forcing terms or resolution does not imply generalization across boundary conditions. We support our theoretical analysis with controlled experiments on the Poisson equation, demonstrating sharp degradation under boundary-condition shifts, cross-distribution failures between distinct boundary ensembles, and convergence to conditional expectations when boundary information is removed. Our results clarify a core limitation of current neural PDE solvers and highlight the need for explicit boundary-aware modeling in the pursuit of foundation models for PDEs.
Abstract（参考訳）: ニューラルPDEソルバはしばしば、問題データをPDEソリューションにマッピングする学習ソリューション演算子として記述される。この研究において、この解釈は境界条件が変われば一般的には誤りであると主張する。標準的なニューラル演算子トレーニングは、単一の境界に依存しない演算子ではなく、境界付き演算子の族を暗黙的に学習し、学習された写像はトレーニング中に見られる境界条件分布を基本条件とすることを示した。この視点を、条件付きリスク最小化として演算子学習をフレーミングすることで定式化し、トレーニング境界分布の支持外において識別不可能な結果をもたらす。その結果、強制項や分解の一般化は境界条件をまたいだ一般化を示唆しない。我々は,ポアソン方程式の制御実験による理論解析を支援し,境界条件シフトによる急激な劣化,異なる境界アンサンブル間の相互分布障害,境界情報が除去された場合の条件予測への収束を実証する。本研究は,現在のニューラルPDEソルバの限界を明らかにするとともに,PDEの基礎モデル追求における境界認識モデルの必要性を明らかにするものである。

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